Dieser Teil der Termumformung ist in diversen Aufgabentypen wichtig, gleichzeitig für viele Menschen zunächst etwas mysteriös. MathemaTrick hat zu diesem Thema zwei Erklärvideos: Video eins und Video zwei.

Du solltest mindestens folgende Regeln auswendig wissen:

a^m\cdot a^n=a^{m\cdot n}\\\quad\\\frac{1}{a}=a^{-1}\\\quad\\ \sqrt{a}=a^{0,5}=a^{\frac{1}{2}}\\\quad\\a^0=1

Die letzte Regel brauchst du besonders häufig.

Oft ergeben sich quadratische Gleichungen, wenn zum Beispiel in der Stochastik p mit (1-p) multipliziert wird, wenn in der Analysis Nullstellen gesucht sind oder der Parameter für eine vektorielle Ebenenschar ermittel werden soll.

An dieser Stelle brauchst du ohne Taschenrechner die pq-Formel. Wenn ein schlimmer Ohrwurm aus deiner Sicht ein zumutbarer Preis dafür ist, diese Formel auswendig zu können, hier gibt es den pq-Formel-Rap.

x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}

Ein Quader hat sechs rechteckige Seitenflächen. Das Volumen berechnest du aus den Kantenlängen a, b und c so:

V_{Quader}=a\cdot b\cdot c

Auch ein Spat hat sechs Seitenflächen. Davon sind jeweils zwei parallel zueinander liegende Parallelogramme.

Das Volumen berechnest du aus den Kanten a, b und c mit Hilfe des Spatpoduktes. Das ist aber eher ein Fall für den Komplexaufgabenteil.

Eine Pyramide hat eine Grundfläche und eine Spitze. Das Volumen berechnest du im hilfmittelfreien Teil aus dem Flächeninhalt der Grundseite G und der Höhe h so:

V_{Pyramide}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h

Dagegen hat ein Zylinder eine kreisförmige Grundfläche G und eine Höhe h. Daraus ergibt sich das Volumen so:

V_{Zylinder}=G\cdot h

Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel. Den Flächeninhalt berechnest du so:

A_{Quadrat}=a\cdot a

Das Rechteck hat jeweils zwei gegenüber liegende gleich lange Seiten und vier rechte Winkel. Den Flächeninhalt berechnest du so:

A_{Rechteck}=a\cdot b

Ein Parallelogramm hat jeweils zwei gegenüber liegende gleich lange und parallele Seiten. Den Flächeninhalt berechnest du aus der einen Seite und der Höhe h so:

A_{Parallelogramm}=a\cdot h

Auch ein Trapez hat zwei gegenüber liegende parallele Seiten a und c. Den Flächeninhalt berechnest du aus den beiden Seiten und der Höhe h so:

A_{Trapez}=\frac{a+c}{2}\cdot h

Trapeze kommen im Analysisteil öfter mal vor, wenn es um Flächeninhalte unter den Graphen linearer Funktionen geht. Dafür musst du vielleicht das Blatt um 90° drehen.

Eine Raute hat vier gleich lange Seiten. Die jeweils gegenüber liegenden Seiten sind parallel.

Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleich lange Seiten, wie der Name schon sagt. Die drei Winkel sind auch gleich und betragen jeweils 60°.

Beim gleichschenkligen Dreieck sind nur zwei Seiten und damit auch zwei Winkel gleich.

Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen rechten Winkel. Die beiden kurzen Seiten sind die Katheten, die lange Seite heißt Hypothenuse. Den Flächeninhalt berechnest du aus den Katheten a und b so:

A_{rechtw.Dreieck}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b

Wichtig ist, dass du den Scharparameter beim Integrieren und Ableiten wie eine konstante Zahl behandelst. Es wird nicht nach a abgeleitet!

Beispiel:

f_a(x)=ax^2-5x\\\quad\\\implies f^{\prime}_{a}(x)=2ax-5

und

 F_a(x)=\frac{a}{3}x^3-\frac{5}{2}x^2+C

Häufig soll aus einer Bedingung der Scharparameter bestimmt werden. Dafür bildest du zunächst das Integral, den Hochpunkt oder was auch immer gefragt ist, sodass der Parameter noch im Ausdruck drin steht. Diesen Term setzt du dann mit der Bedingung gleich, zum Beispiel mit einer bestimmten Fläche. Am Ende löst du nach dem Parameter auf.

Es gibt Aufträge der folgenden Sorte:

Zeigen Sie, dass das Flächenstück, das die Graphen von f_k und f_{k +1} in den Grenzen von 0 bis 4 einschließen, für alle Werte von k den gleichen Inhalt hat.

Dafür berechnest du das Integral über f_k in den gegebenen Grenzen. Dann setzt du in diesen Term (k+1) statt k ein. Die beiden Terme setzt du gleich. Wenn die beiden Flächen für alle k gleich sein sollen, muss das k beim Versuch, danach aufzulösen, aus der Gleichung herausfallen.

Immer wieder sollen Geradengleichungen angegeben werden. Unter anderem geht es dabei um Tangenten oder rechtwinklig schneidende Geraden.

Diese allgemeine Gleichung solltest du kennen:

y=m\cdot x+n

(Es kann sein, dass das n bei dir im Unterricht auch b war.)

Dabei ist m die Steigung. Bei einer Tangente ist m gleich der ersten Ableitung an dieser Stelle, also f'(x).

Bei einer senkrecht schneidenden Geraden ist

m=-\frac{1}{f^{\prime}(x)}

Der Achsenabschnitt n ist häufig gefragt. Dafür setzt du die drei bekannten Werte für x, y und m ein und löst nach n auf.

In den Bereichen, in denen f‘ positiv ist, ist die Funktion f monoton steigend. Dort nehmen die Funktionswerte also nach rechts hin zu.

Die mittlere Änderung zwischen zwei Punkten erhältst du mit dem Steigungsdreieck.

Die momentane Änderung an einem Punkt ist die erste Ableitung bei diesem x.

Für Schnittpunkte setzt du die zwei Funktionen gleich und löst nach x auf.

Für Nullstellen setzt du die Funktion gleich Null und löst nach x auf. Dabei kommen oft die pq-Formel oder der Satz vom Nullprodukt zum Einsatz. Hier findest du eine Playlist mit Videos zum Thema Nullstellen.

In manchen Fällen sollst du die Anzahl von Schnittpunkten zwischen einer rationalen Funktion und einer Geraden in Abhängigkeit von der Steigung der Geraden angeben. Dafür legst du am besten dein Geodreieck oder ein transparentes Lineal auf die Abbildung und probierst verschiedene Steigungen aus.

Wenn ein Integral über f von a nach b gefragt ist, achte darauf, ob du einen Graphen der Stammfunktion F vor dir hast. Dann brauchst du die Werte F(b) und F(a) nur abzulesen.

\int\limits_{a}^bf(x)dx=F(b)-F(a)

Oft sollst du auch in einer Abbildung „Kästchen zählen“ oder Figuren wie Dreiecke, Rechtecke oder Trapeze finden, mit deren Hilfe du Flächen unter einer Geraden berechnest.

Die Ableitung an einer Stelle x entspricht der Steigung der Tangente an diesem Punkt. Wenn du zu einer Abbildung eine Steigung angeben sollst, kann eine Lösung das Einzeichnen einer Tangente sein. In diesem Fall hast du für den Wert einen gewissen Spielraum, weil das Anlegen des Geodreiecks auf dem Augenmaß basiert.

Es kam allerdings auch vor, dass in einer Abbildung sowohl f als auch f‘ zu sehen waren. In diesem Fall sollte f'(x) direkt abgelesen werden.

Folgende Tabellen zeigen wichtige Zusammenhänge zwischen Funktionen, ihren Ableitungen und Stammfunktionen:

Die dritte Ableitung brauchen wir nur, um einen Wendepunkt zu überprüfen. Oft wird sie gar nicht verlangt.

Außerdem ist es wichtig, sich zu merken, dass die Funktion f(x) die Ableitung der Stammfunktion F(x) ist. Wenn du zeigen sollst, dass F eine Stammfunktion von f ist, dann leitest du F ab. Idealerweise sollte dabei als Ergebnis f herauskommen.

Wenn die Funktion f eine Geschwindigkeit darstellt, dann gibt ein Integral die Bestandsänderung an. Ein paar Beispiele:

Hat f die Einheit Meter pro Sekunde -> F gibt die gefahrene Strecke an

Ist f in L pro Minute angeben -> F gibt das zugeflossene Volumen an

Ist f eine Infektionsrate -> F ist die Anzahl der Infektionen im betrachteten Zeitraum

Für besondere Punkte im Graphen ist die folgende Tabelle hilfreich:

Wenn also zum Beispiel die Funktion f eine Nullstelle hat, die erste Ableitung f‘ aber nicht, dann hat die Stammfunktion einen Extrempunkt.

Wenn die Funktion f und die erste Ableitung beide jeweils eine Nullstelle haben, dann hat die Stammfunktion bei diesem x einen Sattelpunkt.

Auch der hilfsmittelfreie Teil im Mathe-Abi erfordert immer wieder die Produktregel und die Kettenregel zum Ableiten.

Für die Bestimmung der Symmetrie setzt du -x statt x in eine Funktion ein und vereinfachst den Funktionsterm.

Wenn am Ende f(-x) = f(x) herauskommt, ist die Funktion achsensymmetrisch..

Wenn stattdessen f(-x) = -f(x) herauskommt, ist die Funktion punktsymmetrisch.

In allen anderen Fällen ist sie nicht symmetrisch. Stell dich darauf ein, dass Fragen dieser Art vorkommen:

h(x) ist punktsymmetrisch, g(x) ist achsensymmetrisch. Welche Symmetrie hat f(x) = (h(x))² · g(x)?

Dafür setzt du -x ein:

g(-x) = g(x) und h(-x) = -h(-x)

f(-x) = (h(-x))² · g(-x)

= (-h(x))² · g(x)

= (h(x))² · g(x), denn Minus mal Minus ergibt Plus.

Also ist f(-x) = f(x) und damit ist f(x) achsensymmetrisch.

Um Funktionen zu skizzieren, gehe ich so vor:

1. Bekannte Punkte und Nullstellen ankreuzen
   
2. Hoch und Tiefpunkte mit einer kleinen „Schale“ andeuten
   
3. Grenzwerte mit Pfeilen andeuten
   
4. Bei rationalen Funktionen Wendepunkte zwischen Hoch- und Tiefpunkten andeuten, dabei schon den Wechsel zwischen Rechts- und Linkskurve (beziehungsweise anders herum) anpeilen.
   
5. Bei e-Funktionen Wendepunkte zwischen Hochpunkt und Asymptote andeuten, dabei Wechsel der Krümmung anpeilen.

6. Beherzt eine Linie durch diese Elemente ziehen:

Auf diese Weise werden Extrempunkte nicht zu spitz und die Wendepunkte sitzen korrekt. außerdem lässt sich so der Graph auch sehr viel leichter zeichnen. Es geht bei diesen Skizzen nicht um Schönheit, sondern um Richtigkeit 🙂

g(x) = f(-x)

-> Du setzt also überall, wo ein x vorkommt, stattdessen (-x) ein.

g(x) = -f(x)

-> Du multiplizierst also einfach die Funktion mit -1. Vorne und hinten eine Klammer und ein Minus davor gesetzt.

Zum Beispiel um 5 nach oben:

g(x) = f(x) + 5

-> Du addierst also am Ende zu f(x) 5 dazu.

Zum Beispiel um 2 nach rechts:

g(x) = f(x-2)

-> Du setzt also überall, wo ein x vorkommt, stattdessen (x-2) ein.

Zum Beispiel x = 2

Du spiegelst die Funktion zunächst an der y-Achse und schiebst sie dann um 2 nach rechts:

g(x) = f(-x-2)

-> Du setzt also überall, wo ein x vorkommt, stattdessen (-x-2) ein.

Zum Beispiel y = -1

Du spiegelst die Funktion zunächst an der x-Achse und schiebst sie dann um 1 nach unten:

g(x) = -f(x)-1

-> Du multiplizierst also die Funktion mit -1 und ziehst danach 1 ab. Vorne und hinten eine Klammer, ein Minus davor gesetzt und danach noch -1 dahinter geschrieben.

g(x)=a · f(x)

-> Du multiplizierst f(x) mit dem gewünschten Faktor. Vorne und hinten eine Klammer und das a davor geschrieben.

g(x) = f(b·x)

-> Du setzt also überall, wo ein x vorkommt, stattdessen (b·x) ein. Je größer b, umso stärker wird die Funktion zieharmonikamäßig zusammen geschoben. Bei kleinem b wird der Graph auseinander gezogen.

Wenn du angeben sollst, wo ein Punkt nach dieser Transformation landet, berechnest du den Funktionswert g(x). Ein Beispiel:

f(x) = x² + 2x – 4

g(x) soll durch Spiegelung an der x- Achse und Verschiebung um 1 nach unten entstehen:

g(x) = -(x² + 2x – 4) – 1 = – x² – 2x + 3

Aus dem Punkt P(3 | 11) wird der Punkt P'(3 | -12). Achte darauf, dass bei der Spiegelung an der x-Achse aus Hochpunkten Tiefpunkte werden und umgekehrt!

Die Steckbriefaufgaben im HMF-Teil sind vom Aufwand her sehr übersichtlich. Das Vorgehen ist wie gehabt:

1. Stelle die Funktion mit Parametern auf, zum Beispiel a·e^b·x oder a·x² + b
   
2. Entnimm dem Text die Informationen für besondere Punkte.
   
3. Stelle auf dieser Basis dein Gleichungssystem auf und löse es.

Rechne damit, dass Aufgaben des folgenden Typs vorkommen werden:

Berechnen Sie für f(x)= e^g(x) die Steigung der Tangente an der Stelle x = 1.

Bei dieser Aufgabe war ansonsten nichts gegeben, außer einer Abbildung von g und g‘. Daraus ließen sich g(1) = 0 und g'(x) = 2 ablesen.

Mit Hilfe der Kettenregel ergibt sich:

f'(1) = g'(1) · e^g(1) =2 · e⁰ = 2

Dir sollte klar sein, dass am Grad einer Funktion ihr Aussehen ablesbar ist. Zum Beispiel hat eine Funktion dritten Grades maximal drei Nullstellen, maximal zwei Extrempunkte und in dem Fall einen Wendepunkt zwischen den Extrempunkten.

Hier sollte dir hauptsächlich klar sein, dass die Ableitung wieder die e-Funktion ist. Ausdrücke wie e² oder ln(4) sind nicht im Kopf berechenbar und werden so stehen gelassen. e⁰ ist aber gleich Eins!

Du solltest eine ungefähre Vorstellung vom Aussehen der Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion haben. Die y- Werte schwingen zwischen 1 und -1 hin und her. Wenn du eine x-Achse zwischen Null und π skizzierst, sehen die beiden Graphen so aus wie in der Abbildung oben.

Diese Skizze hilft dir dabei, dir wichtige Punkte zu merken. Ansonsten sollte klar sein, dass beide Funktionen links und rechts unendlich weiter verlaufen und dass die Ableitungen in folgender Reihenfolge laufen:

sin -> cos -> -sin -> -cos -> sin

Die Stammfunktionen verlaufen in der umgekehrten Reihenfolge.

In der Aufgabengruppe 2 kamen kompliziertere Fragen vor. Zur Lösung dieser Aufgaben musst du wissen, dass die Amplitude a, Periode b, die waagerechte Verschiebung c und die senkrechte Verschiebung d im Sinus und Kosinus folgendermaßen erscheinen:

f(x)=a\cdot sin\bigg(\frac{2\pi}{b}\cdot x-c\bigg)+d\\\quad\\f(x)=a\cdot cos\bigg(\frac{2\pi}{b}\cdot x-c\bigg)+d

Den Tangens brauchst du zum Berechnen von Steigungswinkeln, denn

tan{x}=f'(x)

Im hilfsmittelfreien Teil im Mathe-Abi lässt du Ausdrücke wie tan(3), die nicht im Kopf berechenbar sind, einfach so stehen.

Oft ist die Aufgabe, ein Baumdiagramm zu zeichnen. In anderen Fällen ist es extrem hilfreich, ein Baumdiagramm zu zeichnen, um die Wahrscheinlichkeit für ein komplizierteres Ereignis zu berechnen.

Denke daran, entlang der Pfade die Wahrscheinlichkeiten zu multiplizieren und quer zu den Pfaden zu addieren.

Bevor du das Baumdiagramm beschriftest, stelle noch einmal klar, ob zurückgelegt wird oder nicht und wie das die Wahrscheinlichkeiten beeinflusst.

Wenn du die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis nicht kennst, beschrifte den entsprechenden Zweig im Diagramm mit einem p.

Wenn oft gewürfelt oder gezogen wird, ist der Baum zu groß, um ihn komplett zu zeichnen. Dann empfehle ich, nur den Pfad zu zeichnen, der die geforderte Geschichte wiedergibt.

Beispiel: „Zehn Überraschungseier werden nacheinander zufällig ausgewählt. Geben Sie einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit dafür an, dass nur in den letzten beiden Überraschungseiern jeweils eine Figur enthalten ist.“

Hier würde ich einen Pfad zeichnen,der achtmal nach links und zweimal nach rechts abzweigt. Die Skizze ist nur für dich und muss nicht vollständig sein.

In manchen Fällen hilft ein Baumdiagramm, zum Beispiel, wenn zunächst eine von drei Urnen und dann daraus eine Kugel gezogen wird.

In anderen Fällen berechnest du die Anzahl der Möglichkeiten, die eine bestimmte Bedingung erfüllen und teilst sie durch die Anzahl aller Möglichkeiten. Manchmal brauchst du dafür die Formeln aus der Kombinatorik, manchmal hilft eine Tabelle.

Beispiel:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei zweimaligem Würfeln die Augensumme 5 zu erhalten.

In der ersten Zeile und der ersten Spalte sind in orange die Augen des ersten bzw zweiten Würfels angegeben. In den übrigen Feldern die Augensummen.

Aus der Tabelle ist zu entnehmen, dass es vier Möglichkeiten für die Augensumme 5 gibt und insgesamt 36 mögliche Ergebnisse. Damit ist die Wahrscheinlichkeit 5:36.

Wenn die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis berechnet werden soll, das sich aus zwei Ereignissen zusammensetzt, musst du die Einzelwahrscheinlichkeiten berechnen und addieren. Es sei denn, die Ereignisse überlappen wie in diesem Beispiel:

A: Bei zweimaligem Würfeln fallen nur gerade Zahlen

A=\{2\vert 2,2\vert 4,\boxed{2\vert 6},4\vert 2,\boxed{4\vert 4},4\vert 6,\boxed{6\vert 2},6\vert 4,6\vert 6\}\\\quad \\ \implies P(A)=\frac{9}{36}

B: Bei zweimaligem Würfeln ist die Augensumme 8

B=\{\boxed{2\vert 6},3\vert 5,\boxed{4\vert 4},5\vert 3,\boxed{6\vert 2}\}\\\quad\\ \implies P(A)=\frac{9}{36}

Die Schnittmenge „A und B“ enthält drei Elemente.

\footnotesize{A\cup B=}\\\quad\\\footnotesize{\{\boxed{2\vert 6},\boxed{4\vert 4},\boxed{6\vert 2}\}}

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\\quad\\ =\frac{9}{36}+\frac{5}{36}-\frac{3}{36}=\frac{11}{36}

Denn für P(„A oder B“) dürfen wir die Kombinationen in den Kästchen nicht doppelt zählen.

\footnotesize{A\cup B=}\\\quad\\\footnotesize{\{2\vert 2,2\vert 4,\boxed{2\vert 6},3\vert 5,4\vert 2,\boxed{4\vert 4},4\vert 6, 5\vert 3,\boxed{6\vert 2},6\vert 4,6\vert 6\}}

Dieser Aufgabentyp ist so populär, weil sich damit so viele Geschichten erzählen lassen. In den Aufgaben der letzten Jahre wurden regelmäßig verschiedene Urnen mit unterschiedlich vielen verschiedenfarbigen Kugeln bestückt.

Teils wurden dann Kugeln zwischen den Urnen hin und her getauscht, teils wurde zufällig eine der Urnen gewählt. Am Ende stand meist die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Kugel einer bestimmten Farbe gezogen würde.

Bei solchen Geschichten ist ein Baumdiagramm hilfreich, an dem du die zeitliche Abfolge der Schritte ordentlich auflistest. Bei der zufälligen Wahl von Urnen ist die Wahrscheinlichkeit 1 geteilt durch die Anzahl der Urnen.

Für andere Geschichten war der Anteil der Kugeln in der gesuchten Farbe unbekannt und musste aus der Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses geschlossen werden. Auch hier hilft ein Baumdiagramm, an dem du den Anteil erst einmal als p einträgst.

Wenn A und B stochastisch unabhängig sind, gilt:

P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P{A}}=P(B)

Um das zu prüfen, helfen dir ein Baumdiagramm oder eine Vierfeldertafel.

E(X) ergibt sich, wenn du alle Werte, die die Zufallsgröße X annehmen kann mit der jeweils dazu gehörenden Wahrscheinlichkeit multiplizierst und dann alle Ergebnisse zusammen addierst.

Ich empfehle, falls nicht schon gegeben, eine Tabelle aufzustellen und die einzelnen Summanden dann unter die jeweiligen Spalten zu schreiben.

Wäre dies ein Spiel, wäre der Erwartungswert für den Gewinn

E(X) = 1 € + 1 € – 6,80 € = – 4,80 €

Es kann also davon ausgegangen werden, bei jedem Spiel durchschnittlich 4,80 € zu verlieren.

In diesem Zusammenhang wird oft nach einem fairen Spiel gefragt, oder nach dem Einsatz, bei dem sich „auf lange Sicht“ die Einsätze und Auszahlungen ausgleichen. Dafür berechnest du den Erwartungswert für die Auszahlung. Für ein faires Spiel muss der Einsatz genau diesem Wert entsprechen.

Immer wieder sollst du einen Term interpretieren, der folgende Form hat:

{20 \choose 1}\cdot 0,2\cdot0,8^{19} 

Dabei handelt es sich um die Bernoulliformel. Weil sie im HMF-Teil vorkommst, solltest du sie auswendig können.

P(X=k)={n \choose k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k} 

Aus den Exponenten und dem ersten Faktor kannst du n = 20 und k = 1 ablesen. Diese beziehen sich meistens auf eine Situation, die im Aufgabentext beschrieben wurde.

Aus dem zweiten und dritten Faktor kannst du die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,2 ablesen.

Die drei Werte n, p und k musst du dann noch auf die Geschichte beziehen, die der Aufgabe zugrunde liegt.

Wichtig zu wissen ist auch:

{n \choose 0}={n \choose n}=1\\\quad\\ {n \choose 1}=n\quad\quad (1-p)^0=1

Wenn k = 1 ist, dann ist der vordere Faktor also nur eine Zahl, diese ist dann n.

In anderen Fällen sieht ein Term ungefähr so aus:

\bigg(\frac{2}{5}\bigg)^7

Hier wurde ein Experiment siebenmal wiederholt und jedesmal dasselbe Ergebnis mit der Trefferwahrscheinlichkeit von 2/5 beobachtet. Hier ist n = k = 7 und daher sind der erste und der dritte Faktor der Bernoulliformel 1. Und in einem Produkt kann der Faktor 1 weggelassen werden.

Bei diesem Aufgabentyp ist wichtig, dass der Winkel über einen Dreisatz mit der Wahrscheinlichkeit zusammenhängt.

360° entsprechen 100 %. Ist dein Winkel gegeben, zum Beispiel φ = 72°, dann gehört zu diesem Feld auf dem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit 72° : 360° · 100 % = 20 %

Es kommt vor, dass der Winkel zunächst nicht gegeben ist, dann lässt du die Wahrscheinlichkeit als p = φ : 360° stehen.

Manchmal wird der Winkel im Bogenmaß betrachtet, dann gilt: 2π entspricht 100 %.

Da du die Formelsammlung im HMF-Teil nicht zur Verfügung hast, musst du dir die Bernoulliformel auswendig merken:

P(X=k)={n \choose k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k} 

Das n gibt die Anzahl der Wiederholungen an, das k die Anzahl der Treffer und das p die Trefferwahrscheinlichkeit. Insgesamt berechnest du so die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer.

Besondere Binomialkoeffizienten sind diese hier:

{n \choose 0}={n \choose n}=1\quad\quad {n \choose 1}=n

Damit du annehmen kannst, dass eine Binomialverteilung vorliegt, kannst, muss das p bei jeder Wiederholung immer gleich sein. Es muss also zum Beispiel beim Ziehen aus einer Urne die Kugel jeweils wieder zurück gelegt werden.

Immer wieder sollen einer Geschichte Balkendiagramme zugeordnet werden. Dafür siehst du dir die x-Achse an, ob überhaupt n Balken angezeigt werden. Wenn es mehr als n Balken sind, passt das Diagramm nicht zu der Geschichte.

Dann rechnest du mit n·p den Erwartungswert µ aus. Bei diesem Wert muss im Diagramm das Maximum sein.

Ansonsten hilft es noch, die Höhen der Balken zusammenzuzählen. Dabei muss 1 heraus kommen, ansonsten zeigt das Diagramm keine Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Die Standardabweichung σ berechnest du so:

\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}

Wenn dieser Wert größer ist als drei, kann die Binomialverteilung näherungsweise als normalverteilt behandelt werden.

Auch wenn du für kumulierte Wahrscheinlichkeiten den Taschenrechner nicht verwenden kannst, kommt es vor, dass du sie dir logisch zusammenreimen sollst:

Wenn zum Beispiel p = 0,5 ist, dann ist die Verteilung symmetrisch. Ist zusätzlich noch zum Beispiel gegeben, dass bei n = 100 die Wahrscheinlichkeit P(X<20) = 0,05 ist, dann ist auch die Wahrscheinlichkeit P(X>80)= 0,05 und damit bleibt für ein eventuell gefragtes Intervall von 20 bis 80 noch 0,9 übrig.

In einer Aufgabe war die Verteilung nicht als gewohntes Balkendiagramm präsentiert, sondern in „kumulierten Werten“. Jeder Balken hat die Höhe P(X=k) plus die Höhe des Balkens links daneben. Der letzte Balken hat also die Höhe 1. Der Wert P(X=k) für ein beliebiges k kann berechnet werden, indem von dem jeweiligen Balken der Balken des linken Nachbarn abgezogen wird.

In diesem Bild entsprechen die türkis schraffierten Flächen jeweils den Wahrscheinlichkeiten P(X=k).

Dieser Ausdruck sollte dich nicht erschrecken. Es geht in diesen Aufgaben nur um eine Normalverteilung. Oft ist die Glockenkurve abgebildet, in der du eine Fläche einzeichnen sollst, also die Wahrscheinlichkeit dafür abschätzen, dass der Wert der Zufallsgröße x in dem betrachteten Intervall liegt.

Merke: Die komplette Fläche unter der Kurve ist 1 oder 100%.

Wenn der Erwartungswert µ sich ändert und die Standardabweichung σ gleich bleibt, verschiebt sich die Glocke nach rechts oder links.

Wenn µ gleich bleibt und σ größer wird, bleibt das Maximum an der gleichen Stelle und die Glocke wird breiter und gleichzeitig flacher.

Frage dich, ob bei dem Zählverfahren zurückgelegt wird oder nicht, ob die Reihenfolge wichtig ist oder nicht, und eventuell ob alles verteilt wird oder nicht.

n: Aus wie vielen Optionen kann ich für jede Ziehung wählen?

k: Wie oft ziehe ich?

Der größte Teil der Geschichten lässt sich auf folgende Grundmuster zurückführen:

n^k

n!

\frac{n!}{(n-k)!}

{n \choose k}

{{n+k-1} \choose {k-1}}

Du musst in den meisten Fällen nur den Term aufschreiben und nicht fertig berechnen.

Ich sage es nochmal: Hier hilft eine Skizze extrem weiter 🙂 Falls du nicht schon eine Abbildung vorliegen hast. In der darfst du so viel herum malen wie nötig, um Dinge klarer zu sehen.

Jeder Punkt hat einen dazu gehörenden Ortsvektor. Die Koordinaten sind dieselben, nur um 90° „gekippt“.

Vektoraddition: Du überlegst dir, wie du über bekannte Punkte zum gesuchten Punkt kommst und addierst deine „Reisebeschreibung“ auf.

Wenn du zum Beispiel einen Punkt D bestimmen sollst, der zu einem Parallelogramm ABCD gehört und von dem du die Punkte A. B und C kennst, sieht diese Reise so aus, dass zu vom Ursprung erst zu A gehst und dann dort den Vektor von B nach C dran hängst.

\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}

Wenn du einen Punkt so bestimmen sollst, dass eine Figur einen vorgegebenen Flächeninhalt hat oder ein Körper ein gegebenes Volumen, setzt du für die Koordinaten erst einmal allgemein x, y und z ein. Dann berechnest du alle nötigen Vektoren. Im hmf-Teil sind viele Nullen dabei, sodass der Rechenaufwand gering ist. Am Ende setzt du den resultierenden Term mit der gegebenen Fläche beziehungsweise dem Volumen gleich.

Oft ergibt sich aus einer Skizze zu einer Pyramidenaufgabe auch, dass die Punkte der Bodenfläche alle auf der gleichen Höhe sind, zum Beispiel A ( 3 | 3 | 3 ) , B ( 6 | 7 | 3 ) und C ( 2 | 10 | 3 ). Wenn du dazu eine Spitze finden sollst, damit die Pyramide ein bestimmtes Volumen hat, berechnest du den Flächeninhalt der Grundseite.

Die Höhe der Pyramide ist

h=3\cdot V:G

Die z-Koordinate der Spitze muss in diesem Fall 3 + h sein. Die x- und y-Koordinaten sind frei wählbar.

Manchmal ergibt sich der Punkt aus dem Zusammentreffen mehrerer Bedingungen. Zum Beispiel könnte ein Punkt auf einer Geraden liegen und mit einem anderen Punkt einen Vektor bilden, der zu der Gerade senkrecht steht. Du ahnst es schon: Eine Skizze hilft 😉 Und hier das Konzept der Geradengleichung sowie das Skalarprodukt.

Weil das Skalarprodukt so einfach zu berechnen ist und der Nachweis von rechten Winkeln damit so leicht ist, kommen sehr viele Aufgaben zu diesem Zusammenhang vor.

Lerne, das Skalarprodukt und das Vektorprodukt auseinanderzuhalten. Für das Skalarprodukt multiplizierst du die Koordinaten der Vektoren miteinander und addierst die Ergebnisse. Am Ende bekommst du eine Zahl.

Es geht im hmf-Teil nicht darum, lange Berechnungen durchzuführen, sondern zu zeigen, dass du die Konzepte verstanden hast.

Deswegen lautet der Auftrag häufig:

Geben sie einen Term an, mit dem Sie berechnen könnten,…

Damit ist wirklich nur das gemeint. Du stellst hier zum Beispiel eine Vektoraddition auf und lässt sie so stehen.

Immer wieder soll überprüft werden, ob ein Punkt auf einer Geraden oder einer Ebene liegt. Bei einer Ebene setzt du die Koordinaten ein und stellst fest, ob die Gleichung aufgeht.

Bei einer Geraden setzt du den Ortsvektor zum Punkt mit der Ebene gleich und löst das entstehende Gleichungssystem.

Das Ganze nennt sich Punktprobe.

Während ein Ortsvektor immer vom Ursprung zu einem konkreten Punkt im Raum gedacht wird, ist ein Richtungsvektor frei im Raum verschiebbar. Er gibt an, wie du von einem beliebigen Punkt zu einem anderen Punkt kommst.

Einen Richtungsvektor berechnest du, indem du den Ortsvektor des Startpunktes vom Ortsvektor des Zielpunktes subtrahierst.

Richtungsvektor = Ende – Anfang

Diese Reihenfolge ist wichtig, weil anders herum der Vektor in die entgegengesetzte Richtung zeigt.

Die Gleichung für die xy-Ebene, beziehungsweise x₁x₂-Ebene lautet:

z = 0 bzw. x₃=0

\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}

\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}

\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}

Der Normalenvektor zeigt also in Richtung der z-Achse und die beiden Richtungsvektoren in Richtung der x- beziehungsweise der y-Achse. Für die anderen drei Ebenen musst du nur die Koordinaten tauschen.

Wenn ein Punkt in dieser Ebene liegen soll, muss er die z-Koordinate Null haben.

Wenn eine Gerade in dieser Ebene liegen soll, muss ihr Aufpunkt als z-Koordinate eine Null haben und als frei wählbarer Richtungsvektor wären jeweils u oder v geeignet, ansonsten auch alle anderen Vektoren, die eine Null als z-Koordinate haben..

Vektoren sind zur xy-Ebene parallel, wenn ihre z-Koordinate Null ist.

Wiederhole noch einmal das Vorgehen, wie du einen Punkt in ein Koordinatensystem mit drei Achsen einträgst. Zuerst gehst du den Wert der X-Koordinate nach vorne oder hinten, dann von diesem Punkt aus den wert der y-Koordinate nach rechts oder links und von dieser zweiten Zwischenstation aus den Wert der z-Koordinate nach oben oder unten.

Eine Geradengleichung setzt sich zusammen aus einem Ortsvektor zu einem Punkt auf der Geraden und einen Richtungsvektor, der zu der Gerade parallel ist.

Der Ortsvektor verankert die Gerade im Raum, der Richtungsvektor richtet sie aus.

Eine Gerade, deren Punkte immer drei gleiche Koordinaten haben ´, zum Beispiel P(4|4|4), hat folgende Gleichung:

g: \overrightarrow{x}=\lambda\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}

Der Aufpunkt ist im Ursprung, daher ist ein Ortsvektor nicht nötig und der Richtungsvektor addiert zu x, y, und z immer jeweils die gleiche Zahl dazu.

Wenn du eine Gerade angeben sollst, ist oft gefordert, dass sie durch einen speziellen Punkt geht und zu einer anderen Gerade parallel ist. Dann nimmst du diesen Punkt als Aufpunkt und den Vektor der anderen Geraden als Richtungsvektor.

Der HMF-Teil im Mathe-Abi sieht für jedes Arbeitsblatt ungefähr 10 Minuten Bearbeitungszeit vor. Hier wird also nicht erwartet, dass du von Grund auf aus drei Punkten eine Ebene in Koordinatenform herbei zauberst

Möglich ist allerdings, dass zwei Geraden gegeben sind, die sich schneiden, und aus denen eine Ebene in Koordinatenform zusammengesetzt werden soll.

Dafür berechnest aus den beiden beteiligten Richtungsvektoren mit dem Vektorprodukt einen Normalenvektor und übernimmst den Stützvektor der einen Geraden. Daraus setzt du eine Ebenengleichung in Normalenform zusammen. Diese ausmultipliziert ergibt die Koordinatenform.

Gegebene Ebenen haben im hmf-Teil generell Koordinatenform. Richte dich darauf ein, dass du daran die Lage im Raum erkennen sollst, also den Normalenvektor ablesen und eventuell die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen berechnen.

Eine Ebene ist dann parallel zu einer der Koordinatenachsen, wenn die jeweilige Koordinate in der Ebenengleichung nicht vorkommt. Zum Beispiel ist E: 2y + 3z = 14 parallel zur x Achse. Du kannst das damit begründen, dass der Normalenvektor mit dem Vektor in Richtung der x-Achse das Skalarprodukt Null ergibt:

\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= 0+0+0=0

Der Normalenvektor steht auf einer Ebene senkrecht. Wenn du ihn berechnen sollst, dann nimmst du das Vektorprodukt aus zwei Richtungsvektoren, die in der Ebene liegen.

Oft kannst du aber auf den Richtungsvektor einer gegebenen Geraden zurückgreifen, die laut Aufgabentext auf der Ebene senkrecht steht. Du kennst es:

Mach dir eine Skizze.

Was auch immer du an Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen bestimmen kannst, kannst du auch mit Scharen machen. Wenn also in einem Vektor eine Koordinate keine Zahl, sondern ein Parameter (häufig ein a) ist, dann rechnest du das jeweilige Verfahren durch und behandelst das a wie eine Zahl.

Am Ende der Rechnung hast du dann einen Term oder eine Gleichung und musst überlegen, welches a die geforderte Bedingung erfüllt.

Beispiel:

Weisen Sie nach, dass g und h_a für jeden Wert von a windschief sind.

g: \overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\\\quad\\g: \overrightarrow{h_a}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+\mu\cdot \begin{pmatrix}1\\a\\0\end{pmatrix}

Wenn du die beiden Richtungsvektoren vergleichst, siehst du, dass sie unabhängig von a keine Vielfachen voneinander sein können.

Du setzt die beiden Geraden gleich und erhältst ein Gleichungssystem:

I \quad \lambda=\mu\\\quad\\II\quad1=\mu\cdot a\\\quad\\
III\quad 1-\lambda=1 \implies \lambda =0

Die dritte Gleichung sagt dir direkt, dass λ Null sein muss. Damit ist nach Gleichung I auch µ gleich Null. Daraus ergibt sich für Gleichung II, dass 1 = 0 · a ist.

Weil es kein a gibt, das diese Gleichung erfüllt, sind alle Geraden h_a windschief zu g.

Wenn du zeigen sollst, dass eine Gerade in einer Ebene liegt, überprüfst du den Richtungsvektor der Geraden und den Normalenvektor der Ebene. Diese müssen senkrecht zueinander sein. Mit anderen Worten: Das Skalarprodukt muss 0 ergeben. Den Normalenvektor von E liest du an den Zahlen vor x, y und z direkt ab.

Beispiel

g: \overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\\\quad\\E: x+y+z=2 \implies \overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}

Das Skalarprodukt passt:

\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=1+0-1=0 \quad\checkmark

Außerdem muss der Aufpunkt der Geraden (ergibt sich aus dem Stützvektor)in der Ebene liegen. Dazu setzt du seine Koordinaten in die Ebenengleichung ein (Punktprobe):

0 + 1 + 1 = 2

Diese Gleichung stimmt auch, damit ist nachgewiesen, dass g in E liegt.

Soll die Gerade nur parallel zur Ebene sein, brauchst du die Punktprobe nicht.

Bilde das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene. Wenn dabei nicht Null herauskommt, schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt.

Vergleiche den Richtungsvektor der Geraden und den Normalenvektor der Ebene. Sind sie parallel, steht die Gerade senkrecht auf der Ebene.

Vergleiche die Richtungsvektoren. Sie müssen parallel sein.

Bilde aus den Richtungsvektoren das Skalarprodukt. Es muss Null herauskommen.

In den Jahren 2017 und 2023 gab es jeweils eine Aufgabe, die nur auf dem Lösen von linearen Gleichungssystemen basierte. Wenn du darauf vorbereitet sein willst, wiederhole am besten noch einmal das Additionsverfahren. Die Gleichungen enthielten relativ viele Nullen und Einsen, so dass der Rechenaufwand an sich gering war.

Wenn du am Ende Werte für alle Variablen bekommst, die alle Gleichungen erfüllen, hat das Gleichungssystem eine Lösung.

Kommt zwischenzeitlich etwas der Art 5 = 7 heraus, hat das Gleichungssystem keine Lösung.

Wenn irgendwann etwas der Art 5 = 5 herauskommt, hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

Du berechnest den Vektor zwischen den zwei Punkten. Aus dessen Koordinaten ergibt sich der Abstand über einen dreidimensionalen Pythagoras.

Beispiel:

A(2\vert4\vert2)\quad B(5\vert4\vert6)\quad\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}\\\quad\\\vert\overrightarrow{AB}\vert=\sqrt{3^2+0^2+4^2}=5

Im hilfsmittelfreien Teil lohnt es sich oft, genauer hinzusehen, wenn der Schnittpunkt zweier Geraden gefragt ist. Oft steht in den Geradengleichungen jeweils der gleiche Stützvektor. Diese Aufgabe ist dann in unter einer Minute beantwortet, indem du nur diesen Stützvektor als Schnittpunkt angibst.

Sollten die beiden Stützvektoren tatsächlich unterschiedlich sein, setzt du die Geraden gleich und löst das entstehende Gleichungssystem.

Ebenen sind generell in der Koordinatenform angegeben. Den Schnittpunkt zwischen einer Ebene und einer Geraden erhältst du durch Einsetzen.

Bei der Frage, ob ein Schnittpunkt innerhalb einer definierten Fläche ist, hilft es, die Fläche und den Punkt in eine Koordinatensystem zu zeichnen.

Spurpunkte einer Ebene sind die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Für den Spurpunkt mit der x-Achse setzt du

y = 0 und z = 0

und berechnest dann x. Das ist deine x-Koordinate für den Spurpunkt. Für die anderen Achsen gehst du ähnlich vor, immer die beiden nicht gefragten Koordinaten werden gleich Null gesetzt.

Aus zwei Spurpunkten einer Ebene ergibt sich eine Spurgerade.

Spurpunkte einer Geraden sind die Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen. Dafür setzt du die Geradengleichung gleich dem Ortsvektor, der an der passenden Stelle eine null hat. Beispielsweise könnte das das für die xz-Ebene so aussehen:

\begin{pmatrix}x\\0\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4\\-3\end{pmatrix}+\lambda\cdot \begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}\implies\\\quad\\x=2+\lambda\\\quad\\0=4+5\lambda\\\quad\\z=-3-\lambda

Das entstehende Gleichungssystem löst du. Aus der zweiten Gleichung ergibt sich, dass λ = -0,8 ist. Das setzt du in die erste und dritte Geleichung ein.

Im hmf-Teil sind oft viele Nullen dazwischen. Hier ist es wenigstens eine in der zweiten Gleichung, sodass dieser Rechnungsschritt wenig Aufwand bedeutet. Es kann auch sein, dass du die obige Vektorgleichung nur aufstellen und nicht zu Ende rechnen musst. Das ergibt sich aus der Aufgabenformulierung.

Immer wieder sollen Objekte an einer Ebene gespiegelt werden. Manchmal ist dafür wirklich eine Rechnung über ein Lotfußpunktverfahren nötig. Manchmal stellst du auch mit Hilfe einer Skizze fest, dass wieder einmal alles deutlich einfacher gemeint ist als es auf den ersten Blick klingt.

Beispiel:

Gegeben sind die Ebene E sowie die Punkt P, Q und S. S liegt in E, die Gerade durch P und Q steht senkrecht auf E und die Punkte P und Q haben den gleichen Abstand von der Ebene E.

Die Punkte S und P legen die Gerade g fest. Spiegelt man g an E, so erhält man die Gerade h. Geben Sie eine Gleichung von h an.

Das ist eine Menge Text. Ich empfehle, einmal kurz durchzuatmen und dann Schritt für Schritt daraus eine Skizze zu zeichnen:

Wenn aus P durch Spiegelung Q wird und die Gerade g die Ebene in S schneidet, muss das Spiegelbild von g durch Q gehen. Damit kannst du einfach eine Gerade aus Q und S erzeugen.

In anderen Fällen war ein bisschen mehr Berechnung erforderlich. Ein Beispiel:

Gegeben sind der Punkt P und die Ebene E:

P(-1\vert7\vert2)\quad\quad E:x_1+3x_2=0

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes Q, der entsteht, wenn P an E gespiegelt wird.

Als Skizze sieht das so aus:

Mit dem Lotfußpunktverfahren findest du den Punkt L, der auf E und dabei mittig zwischen Q und P liegt. Dann brauchst du nur noch zweimal den Vektor zwischen P und L zu dem Ortsvektor von P zu addieren.

Umgekehrt gab es auch die Aufgabe, aus P und Q die Spiegelebene E zu ermitteln. Dabei ist der Vektor zwischen P und Q der Normalenvektor der Ebene, der Aufpunkt der Ebene ist L und liegt auf halber Strecke zwischen P und Q. Das heißt, du addierst zum Ortsvektor für P den halben Vektor zwischen P und Q. Mit diesen zwei Bausteinen setzt du die Normalenform der Ebene zusammen. Durch Ausmultiplizieren bekommst du die Koordinatenform.

Das Volumen einer Dreieckspyramide ist ein Sechstel des Spatproduktes aus drei beteiligten Kantenvektoren.

Allerdings sind die hmf-Aufgaben auf eine Bearbeitungszeit von 10 Minuten pro Arbeitsblatt ausgelegt. Es ist daher sehr wahrscheinlich, dass das Volumen aus einer einfach zu berechnenden Grundfläche G und der aus der z-Koordinate abzulesenden Körperhöhe h berechnet werden soll:

V_{Pyramide}=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h

Behalte im Hinterkopf, dass in Sachaufgaben, die sich um Gegenstände drehen, die z-Koordinate die Höhe eines Punktes im Raum ist. Das hilft oft bei der Orientierung, beim Skizzenbeschriften und beim Berechnen von Strecken oder Volumina.

Wegen der kurzen vorgesehenen Bearbeitungszeit kommen keine komplizierten Schattenwurfaufgaben vor. Grundsätzlich gehst du bei der Ermittlung eines Schattenpunktes so vor:

Punktförmige Lichtquelle:

Der Gegenstandspunkt ist der eine Punkt einer Geraden, die Lampe ist der andere Punkt. Die Gerade entspricht einem Lichtstrahl.

Sonnenbeleuchtung:

Die Richtung der Sonnenstrahlen ist vorgegeben. Dies ist der Richtungsvektor, der Gegenstandspunkt ist der Aufpunkt einer Geraden. Diese Gerade entspricht einem Sonnenstrahl.

Den Licht- beziehungsweise Sonnenstrahl schneidest du mit der Ebene, auf der der Schattenpunkt liegen soll.

Zur Berechnung eines Streckenverhältnisses errechnest du die Längen der beiden Strecken und teilst sie durcheinander. Der größte Aufwand ist meistens die Ermittlung der Koordinaten des Punktes T, der eine Strecke AB in zwei Teile teilt.

Wenn es sich dabei um den Streckenmittelpunkt handelt, sind beide Teilstrecken gleich lang.

Wenn zwei Objekte „den kleinsten Abstand“ voneinander haben sollen, ist die senkrechte Verbindung gefragt. Dahinter steckt das Lotfußpunktverfahren.

Im Beispiel eines Punktes P und einer Ebene E nimmst du den Punkt P als Aufpunkt und den Normalenvektor n der Ebene als Bausteine für eine Gerade. Das ist die Lotgerade g. Schneidest du g mit E, ergibt sich der Lotfußpunkt L.

Im Beispiel einer Geraden h und einer Ebene E nimmst du als Aufpunkt der Lotgeraden den schon gegebenen Aufpunkt A der Geraden und als Richtungsvektor wieder den Normalenvektor n der Ebene. Am Ende ergibt sich wieder der Lotfußpunkt L.

Manchmal ist die Ebene E parallel zu einer der Koordinatenebenen, meistens zur xy-Ebene. Dann kann eine Aufgabe so lauten:

P liegt in E. Unter allen Punkten auf der Deckfläche F hat der Punkt S den kleinsten Abstand von P. E und F sind parallel zur xy-Ebene.

In einer Skizze sieht das Ganze so aus:

In diesem Fall haben P und S dieselben x- und y-Koordinaten. Die z-Koordinate von S ist die z-Koordinate der F-Ebene. Du musst also so gut wie nichts rechnen, wenn du dir die Zeit nimmst, eine schnelle Skizze anzufertigen.

Du musst die Gleichung für einen Kreis nicht kennen, um zu wissen, dass alle Punkte auf der Kreislinie den gleichen Abstand vom Mittelpunkt M haben.

Sollte nachzuweisen sein, dass ein Punkt P auf einer Kreislinie, beziehungsweise auf der Kante der Grundfläche eines Zylinders liegt, dann berechnest du den Abstand des Punktes vom gegebenen Mittelpunkt. Dabei sollte der gegebene Radius r herauskommen.

Den Punkt Q genau gegenüber kannst du berechnen, indem du zum Ortsvektor von P zweimal den Vektor zwischen P und M addierst:

Dieses Video von MathemaTrick zeigt dir das Verfahren. Im Grunde ist besonders wichtig, dass du dir das Muster gut einprägst. Und dass du dich gut darauf konzentrierst, immer eine Zeile mit einer Spalte zu multiplizieren.

Stelle dich darauf ein, dass einige der Matrizen, die du mit anderen multiplizieren sollst, als Einträge Variablen statt Zahlen haben. Das könnte dann so aussehen:

\begin{pmatrix}0&0&3\\x&0&0\\0&0,7&0,8\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&0&3\\x&0&0\\0&0,7&0,8\end{pmatrix}\\\quad\\=\begin{pmatrix}0&0,21&0,24\\0&0&3x\\0,7x&0,56&0,64\end{pmatrix}

In einigen Aufgaben waren die Einträge in Matrizen oder Vektoren Variablen statt Zahlen. Du rechnest mit diesen Variablen die verschiedenen Rechenverfahren bis zum Ende durch und durch Vergleichen mit einem gegebenen Vektor oder sonstigen Wert ergibt sich dann dass Ergebnis für die Variable.

Dabei kann es sich zum Beispiel um den Prozentanteil handeln, mit dem Jungtiere eines Wolfsrudels zu erwachsenen Tieren entwickeln.

Entweder ist eine Übergangsmatrix gegeben, die in ein Übergangsdiagramm umgewandelt werden soll, oder umgekehrt.

Von der Matrix zum Diagramm:

Ergänze die Matrix mit der Kopfzeile „von A, B, C“ und füge links eine Spalte „nach A, B, C“ zu. Zeichne drei Kreise, beschrifte sie mit A, B und C und verbinde sie mit Pfeilen. Schreibe die Werte an die Pfeile. Wenn ein Prozentanteil Null beträgt, lässt du den Pfeil weg.

Vom Diagramm zur Matrix:

Schreibe dir eine von-nach Tabelle und übertrage alle Zahlen aus dem Diagramm. Fülle alle Lücken mit Nullen auf.

Bei Produktionsprozessen steht „von“ in der linken Spalte und „nach“ in der Kopfzeile, die Richtung ist also genau anders herum. Das Prinzip ist aber gleich.

Wenn die Zusammensetzung einer Population gefragt ist, „die sich im weiteren Verlauf nicht mehr ändert“, stellst du folgende Gleichung auf:

M\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}

M ist hier die Übergangsmatrix und der Vektor v entspricht der Populationsverteilung.

Im hmf-Teil ist das entstehende Gleichungssystem generell eher übersichtlich. Manchmal ist auch schon die obige Gleichung als Arbeitsauftrag gegeben.

Es kann auch vorkommen, dass du diese Gleichung nur aufstellen und nicht fertig rechnen musst, um zu beschreiben, wie du den stationären Vektor herausfinden könntest.

Oft ist die Frage, welche Bedeutung ein Eintrag in einer Übergangsmatrix im Sachzusammenhang hat.

In folgendem Beispiel legen Insekten Eier, aus denen Larven entstehen, die sich zu Insekten entwickeln:

Du sollst erklären, was die 0,2 im Sachzusammenhang bedeutet. Die Antwort ist:

20% der Eier entwickeln sich innerhalb einer Zeiteinheit zu Larven.

Es sind unterschiedliche Geschichten, aber immer das gleiche Konzept „von -> nach“

Hier geht es darum, dass du dir logisch überlegst, was passiert, wenn zum Beispiel die Zahl der Schmetterlingseier das zehnfache der Zahl der Schmetterlinge vom Vorjahr ist, aus 80% der Eier erfolgreich Larven werden und aus 20% der Larven dann wieder Schmetterlinge.

Manchmal sollst du diese Überlegungen mit Diagrammen abgleichen, in denen der Verlauf der Populationszahlen mit der Zeit auf der x-Achse gezeigt wird. Dabei geht es meistens darum, ob die Population wächst oder schrumpft, ob sie stetig zunimmt oder schwankt.

In anderen Fällen sollst du beschreiben,wie sich die Verhältnisse in der Population ändern, dass also zum Beispiel der Anteil der Schmetterlingseier gegenüber den ausgewachsenen Schmetterlingen immer weiter zunimmt.

Inverse Matrizen verwendest du dazu, um aus einer aktuellen Population auf die vorherige Population zu schließen.

Für die Matrix M und die inverse Matrix M^-1 gilt:

M\cdot M^{-1}=I

I ist die Einheitsmatrix, in der nur Einsen auf der Diagonalen von links oben nach rechts unten vorkommen und auf allen anderen Plätzen nur Nullen stehen.

Teils sind die inversen Matrizen schon gegeben, sodass du direkt mit ihnen rechnen kannst.

Teils sind inverse Matrizen selbst zu ermitteln. Dieses Video von MathemaTrick beschreibt das grundsätzliche Verfahren. Im hmf-Teil kommen allerdings eher 2×2-Matrizen mit ein paar Nullen als Einträge vor. Dann kannst du auch diesen Ansatz verwenden:

\begin{pmatrix}1&0\\-5&5\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\\\quad\\\implies \begin{pmatrix}a&b\\-5a+5c&-5b+5d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\\\quad\\\implies a=1\quad b=0\quad c=1\quad d=0,2

Hier sollst du die Inverse der linken Matrix heraus finden. Die Variablen a bis d sind die Platzhalter für die Einträge in der inversen Matrix. Du berechnest das Produkt aus M und M^-1.

Durch Vergleich ergeben sich die Werte für a, b, c und d.

Bei Produktionsmatrizen sind „von“ und „nach“ umgekehrt im Vergleich zu Populations-Übergangsmatrizen. Deswegen ergibt die Multiplikation der Matrix mit dem Vektor für die Produkte den Vektor für die Rohstoffe. Wir rechnen hier also zeitlich gesehen in die Vergangenheit.

Wenn angegeben werden soll, wie die Verhältnisse in einer Population im letzten Jahr waren oder wie viel von welchem Produkt du beim Einsatz bestimmter Rohstoffmengen bekommst, rechnest du „rückwärts“.

Dafür multiplizierst du die Matrix mit einem unbekannten Vektor und setzt das Ganze mit dem aktuellen Vektor gleich:

=\begin{pmatrix}0,1&0,6\\0,9&0,4\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}20\\30\end{pmatrix}

In diesem Fall wären 20 Einheiten des einen und 30 Einheiten des anderen Rohstoffes eingesetzt worden. Die Zahlen a und b stehen für die Mengen der Rohstoffe.

Oder es sind aktuell 20 Jungtiere und 30 ausgewachsene Tiere. Dann stehen a und b für die Anzahlen dieser Tiere im vorangegangenen Jahr.

Betrachtet werden stochastische Matrizen, d. h. quadratische Matrizen, deren Spaltensummen jeweils gleich eins sind und in denen alle Elemente größer als null oder gleich null sind.

Beispiel einer stochastischen 2×2-Matrix:

\begin{pmatrix}a&b\\{1-a}&{1-b}\end{pmatrix}

Eine Matrix wird transponiert, indem sie um eine Diagonale „gekippt“ wird:

M= \begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{pmatrix} \implies M^T=\begin{pmatrix}a&d\\b&e\\c&f\end{pmatrix}

Quadratische Matrizen sind orthogonal, wenn Folgendes gilt:

M\cdot M^T=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

Das musst du nicht im Voraus wissen, es kann allerdings vorkommen, dass diese Fachbegriffe eingeführt werden und du sie dann auf eine quadratische Matrix anwenden sollst, also überprüfen, ob sie orthogonal ist.

In dem Fall kippst du die Matrix und erhältst dadurch die Transponierte. Als letzten Schritt multiplizierst du die Originalmatrix mit der transponierten Matrix. Du hältst dich also an die Anleitung auf dem Arbeitsblatt.

Eine Diagonalmatrix ist eine quadratische Matrix, die nur Einträge auf der Diagonalen von links oben nach rechts unten hat. Alle anderen Einträge sind Nullen.

Wenn diese Einträge a auf der Diagonalen alle gleich groß sind, bewirkt eine Multiplikation eines Vektors mit dieser Matrix die Multiplikation des Vektors mit dieser Zahl a.

Beispiel:

\begin{pmatrix}1,5&0&0\\0&1,5&0\\0&0&1,5\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}E\\L\\K\end{pmatrix}\\\quad\\=\begin{pmatrix}1,5E\\1,5L\\1,5K\end{pmatrix}=1,5\cdot \begin{pmatrix}E\\L\\K\end{pmatrix}

In diesem Fall ist a = 1,5. Die Population nimmt bei a>1 zu und bei a<1 ab, aber die prozentualen Verhältnisse der beteiligten Untergruppen, zum Beispiel Eier, Larven und Käfer, bleiben immer gleich.

Die Grenzmatrix ist die Matrix, die ich mit einem beliebigen Zustandsvektor multiplizieren kann, sodass stationäre Vektor herauskommt. Wenn ein Übergangsprozess solch eine Grenzmatrix hat, dann ergibt sie sich im Prinzip dadurch, dass ich die originale Übergangsmatrix so lange immer wieder mit sich selbst multipliziere, bis sich die Einträge nicht mehr verändern.

Bei der Aufgabe, in der eine Grenzmatrix vorkam, musste diese nicht berechnet werden, sondern war gegeben. Die Aufgabe lag darin, die Grenzmatrix zu interpretieren, also zu sagen, wie der stationäre Zustand der Population aussehen würde.

In diesem Teil der Prüfung kannst du zum Lösen linearer Gleichungssysteme deinen Taschenrechner verwenden. Dafür solltest du vorher die Tastenfolgen einüben.

Damit dein Taschenrechner die Daten annehmen und korrekt verarbeiten kann, sind folgende Schritte wichtig:

Du musst die Gleichungen soweit „aufräumen“, dass alle Variablen auf der linken Seite und die Zahlen ohne Variablen rechts vom Gleichheitszeichen stehen.

Wenn es um Parameter r, s und t (oder andere Buchstaben 😉 ) geht, musst du im Blick haben, in welcher Reihenfolge diese in den linearen Gleichungen vorkommen. Denn der Taschenrechner bietet dir nur x, y und z an.

Hast du drei Gleichungen mit drei Variablen, kannst du unterschiedlich viele Lösungen bekommen. Bei einer Geraden und einer Ebene bedeutet zum Beispiel eine Lösung einen Schnittpunkt, keine Lösung, dass die Gerade parallel außerhalb der Ebene liegt und unendlich viele Lösungen, dass die Gerade in der Ebene verläuft.

Der Taschenrechner teilt dir mit, ob es unendlich viele Lösungen oder keine Lösungen gibt. Berechnest du ein Gleichungssystem von Hand, erkennst du unendliche viele Lösungen daran, dass deine Variablen immer wieder „verschwinden“ und Gleichungen der Sorte 5=5 übrig bleiben.

Es gibt keine Lösung, wenn die Variablen immer wieder heraus fallen und am Ende ein unmöglicher Ausdruck stehen bleibt, zum Beispiel 5=3.

Kommen in drei Gleichungen nur zwei Unbekannte vor, gibst du zwei Gleichungen in den Taschenrechner ein. Solltest du dabei zwei konkrete Werte für die jeweiligen Variablen erhalten, musst du diese noch in die dritte Gleichung einsetzen, um zu prüfen, dass sie auch gilt.

Bei Matrizen ergeben sich lineare Gleichungssysteme oft durch das Multiplizieren einer Matrix mit einem Vektor, wobei Elemente der Matrix oder des Vektors unbekannt sind. Im Prinzip kannst du diese Gleichungssysteme auch mit dem Taschenrechner lösen, meistens geht es aber nur um eine einzige Variable. In diesen Fällen ist der Zeitaufwand beim Lösen von Hand geringer als beim Eintippen in den Taschenrechner.

Es wurde relativ oft nach einer prozentualen Abweichung gefragt. Ich empfehle, das als Dreisatz zu sehen. Hier ein Beispiel:

Wenn du dir diese Tabelle und diese Art zu rechnen merkst, musst du nur daran denken, dass du die Größe mit dem ganzen Wert in die erste Zeile schreibst, die abweichende in die dritte und eine 1 in die mittlere Zeile. Dann teilst du auf beiden Seiten durch den oberen Wert (hier: durch 25) und multiplizierst mit dem unteren Wert (hier: mal 8).

Dreisatztabellen sind außerdem auch eine gute Gedankenstütze für den hilfsmittelfreien Teil.

Nicht nur in der Analysis können Zahlenbereiche vorgeschrieben sein. Wenn aus einer unendlich langen Geraden eine Strecke heraus geschnitten wird, zum Beispiel als Kante eines Körpers, dann darf der Geradenparameter nur eine bestimmte Menge an Werten annehmen.

Bei manchen Aufgaben wurde ein Parameter von Anfang an wie nebenbei eingeschränkt.

a \in \R

Wenn sich am Ende der Rechnung dann mehrere Kandidaten für die richtige Antwort ergaben, mussten diejenigen ausgewählt werden, die in der Definitionsmenge waren. In diesem Fall sind nur positive reelle Zahlen zugelassen.

Es lohnt sich also, die Fragestellung noch einmal zu lesen, bevor du den Antwortsatz schreibst.

Die relevanten Zahlenmengen sind in der zugelassenen Formelsammlung aufgelistet. Daher musst du nicht auswendig lernen, wofür das R in der obigen Gleichung steht 😀

Grenzwertbetrachtungen kamen im Bereich der Matrizen vor. Bei einer Matrix mit zwei Parametern sollte einer davon gegen unendlich geführt werden.

So sah das Ganze aus:

\begin{pmatrix}
   \frac{1}{2}\cdot2^{k}\cdot a^{k} & \frac{1}{2}\cdot2^{k}\cdot a^{k} &0 \\\\
   \frac{1}{2}\cdot2^{k}\cdot a^{k} & \frac{1}{2}\cdot2^{k}\cdot a^{k} &0\\\\
   1-2^{k}\cdot a^{k} & 1-2^{k}\cdot a^{k} & 1
\end{pmatrix}

Frage: „Für welche positiven Werte von a nähern sich alle Einträge mit k->∞ einem endlichen Wert?“

Manche Dinge, besonders in der Mathematik, sehen schlimmer aus, als sie sind. Ich empfehle immer, solche komplizierten Ausdrücke in kleine Bausteine aufzuteilen.

\lim\limits_{x \to \infin} \bigg( \frac{1}{2}2^ka^k\bigg)= \lim\limits_{x \to \infin} \bigg( \frac{1}{2}(2a)^k\bigg)

Damit dieser Grenzwert nicht ins Unendliche geht, muss 2a positiv aber kleiner oder gleich 1 sein. Und damit muss a kleiner oder gleich 0,5 sein.

Genauso geht (1-2^ka^k) für ein positives a gegen -∞, wenn 2a größer als 1 ist.

Mein Tipp bei Grenzwerten, wie so oft: Atme durch. Dann stelle dir vor, was passiert, wenn du bei k einen Schieberegler hochziehst. Ein paar grundsätzliche Grenzwerte solltest du dir vor der Abiturklausur ansehen und verstehen. Hier ist eine Playlist von MathemaTrick zum Thema.

In einer der Matrizenklausuren sollte die Abhängigkeit der benötigten Menge eines Rohstoffes von einem Parameter in einer Matrix ermittelt und in ein xy-Koordinatensystem gezeichnet werden.

Sei darauf vorbereitet, dass auch in der Abiturklausur Vektorrechnung Geradengleichungen wie in der Analysis vorkommen können.

lineare Algebra:

g:\overrightarrow{x}= {0 \choose -5}+r\cdot {1 \choose 2}

die gleiche Gerade im Analysis-Format:

f(x)=2x-5

Es kam zweimal eine Geschichte vor, in der sich ein Ball auf einer Parabelbahn bewegte. Dafür war der Punkt gegeben, in dem sich der Ball zu einem bestimmten Zeitpunkt t befand:

P(32-8t \vert 5 \vert -5t^2+6,5t+0,3)

Von der x-Koordinate werden für jede Sekunde 8 m abgezogen. Die y- Koordinate bleibt konstant auf 5. Die z-Koordinate (also die Höhe des Balls) hat die Form einer nach unten geöffneten Parabel.

Wie immer: Erstmal durchatmen. Der Arbeitsauftrag könnte lauten, wie hoch der Ball an der höchsten Stelle fliegt. Dafür musst du das Maximum der Parabel ausrechnen.

f(x)=-5t^2+6,5t+0,3\\ \quad \\ f'(x)=-10t+6,5 \\ \quad \\ f'(x)=0 \implies t=0,65\\ \quad \\f(0,65)=2,1425

Der Ball kommt also auf eine Höhe von maximal 2,1425 m

Wenn gefragt ist, wo der Ball den Boden berührt, setzt du die z-Koordinate gleich null und löst die Gleichung nach t auf. Nur eine positive Zeit ist im Sachzusammenhang sinnvoll, weil der Ball ja nicht in die Vergangenheit fliegt. Und dieses t setzt du noch bei der x-Koordinate ein:

−5t 2 + 6,5t + 0,3 = 0 \\ \quad \\ \implies t_1 = 1,34 \medspace \land \medspace t_2 = -0,04 \\ \quad \\

32 - 8 · 1,34 =21,28 \\ \quad \\ \implies P(21,2\vert 5\vert0)

Wichtig beim Lösen dieser Aufgabensorte ist, dass du verstanden hast, wie die drei Koordinaten als Ortsangabe im Raum gemeint sind. Und dass jede davon als eine Funktion formuliert sein kann, die mit den Mitteln der Analysis bearbeitet wird.

Es sollte nicht überraschen, dass in einer Klausur über Geometrie sehr oft rechtwinklige Dreiecke auftauchen. Wenn die Länge einer Strecke gesucht ist, versuche es immer zuerst mit der Suche nach einem rechten Winkel und danach, ob unter zwei Katheten und einer Hypothenuse zwei der Seiten gegeben sind.

Den Kosinus brauchst du, um Hilfe des Skalarproduktes Winkel zu berechnen. Die Formelsammlung enthält im Bereich Vektorrechung kaum Informationen, aber diese Formel steht darin 🙂

Wenn Winkel gegeben sind, kannst du mit dem Sinus oder dem Cosinus Strecken in einer Figur oder einem Körper berechnen.

Außerdem kommen sin und cos immer wieder in Aufgaben vor, in denen Terme interpretiert werden sollen. Eine Skizze hilft dabei sehr, wie fast immer.

Normalenvektor der Ebene an“

oder

„Begründen Sie, warum der Punkt P die gegebenen Koordinaten hat“

In den meisten Fällen geht es darum, dass etwas symmetrisch ist, und zwar an einer Ebene oder eine Achse gespiegelt oder um eine Achse gedreht. Oft ist das auch in der begleitenden Abbildung zu erkennen.

Für diese Art Aufgaben ist es wichtig, dass du Dinge im Kopf drehen und spiegeln kannst. Außerdem musst du verstanden haben, wie Orts- und Richtungsvektoren funktionieren.

Ich habe dazu Aufgaben von sehr unterschiedlicher Schwierigkeit gefunden.

Teils musst du einer Geradengleichung eine Kante eines Körpers oder eine Bewegung eines Objektes zuordnen.

In anderen Fällen war die Rechnung zu einer Art Lotfußpunktverfahren gegeben, mit deren Hilfe die neuen Koordinaten einer Ecke eines Körpers nach einer Drehung im Raum berechnet werden konnten.

Als Ansatz gehe ich immer mental die verschiedenen vektoriellen Rechenverfahren durch und überlege, bei welchem Verfahren ich zu einem ähnlichen Term komme. Das Schneiden von Geraden oder Ebenen und das Lotfußpunktverfahren kommen häufig vor.

Ein Beispiel aus einer Klausur von 2023, die Aufgabe war:

„Erläutern sie die Fragestellung, die zu diesen Gleichungen führte!“

\footnotesize {\begin{pmatrix}   6 \\ -3 \\0 \end{pmatrix} \circ \\ \Bigg[ \begin{pmatrix}   0 \\ 6 \\0 \end{pmatrix} + \lambda\cdot \begin{pmatrix}   6 \\ -3 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}   3 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}\Bigg]=0} \\ \quad \\
\implies \lambda = 0,8 \\ \quad \\ \implies S(4,8\vert3,6\vert0) \\ \quad \\\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OS} +\vert\overrightarrow{CS}\vert\circ\begin{pmatrix}   0 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}

Die erste Zeile hat das Format einer Ebenengleichung in der Normalenform. Der Vektor (6|-3|0) ist der Normalenvektor, (3|0|0) ist der Stützvektor dieser Ebene.

In der eckigen Klammer ist eine Gerade in der Parameterform eingesetzt worden. Der Stützvektor ist (0|6|0) und der Richtungsvektor ist (6|-3|0).

Das bedeutet, hier wurde der Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene ermittelt, die aufeinander senkrecht stehen. Dabei geht die Gerade durch den Punkt (0|6|0).

Nachdem alles ausmultipliziert wurde, ergab sich für λ der Wert 0,8 und damit der Schnittpunkt S. Das ist das klassische Lotfußpunktverfahren, mit dem der Abstand des Punktes (0|6|0) von der verwendeten Geraden ermittelt wird.

Die letzte Vektorgleichung beschreibt den Weg vom Ursprung 0 zum Punkt T. Dazu gehen wir von 0 zu S und dann parallel zur z-Achse senkrecht nach oben. Und zwar so weit, wie es dem Abstand vom Punkt C nach S entspricht.

Ein Blick an den Anfang der Arbeitsblattes sagt uns, dass der Punkt C die Koordinaten (3/0/0) hat. Daraus können wir die folgende Skizze zusammenstellen:

Der Punkt T ist von der Geraden genauso weit entfernt wie der Punkt C. Die Vektoren von C nach S und von T nach S stehen senkrecht aufeinander. Also wurde der Punkt C um einen Winkel von 90° um die Gerade gedreht.

Hinter dem Term steckte also der Auftrag:

„Der mit C bezeichnete Punkt wird nach der Drehung um einen Winkel von 90° um die Gerade mit T bezeichnet. Ermitteln Sie die Koordinaten von T.“

Wichtig für diese Art von Aufgaben ist es, Muster wiederzuerkennen und Vektorgleichungen in Pfeilen als Skizze visualisieren zu können. Deshalb empfehle ich, diese Kompetenzen rechtzeitig zu trainieren.

Wenn zwei Punkte bezüglich einer Achse symmetrisch sind, dann stimmen sie in der entsprechenden Koordinate überein. Die beiden anderen Koordinaten wechseln die Vorzeichen.

Beispiel Symmetrie bezüglich der x-Achse:

A(5\vert2\vert3) \to A'(5\vert-2\vert-3)

Eine Gerade durch A und A‘ schneidet die x-Achse senkrecht und beide Punkte sind gleich weit von der x-Achse entfernt.

In einer Aufgabe waren mehrere Punkte zum Überprüfen gegeben.

Beispiel:

B(2\vert-1\vert8) \qquad C(-2\vert1\vert8)

Diese Punkte sind symmetrisch bezüglich der z-Achse.

Bei dieser Aufgabenstellung liegt die Schwierigkeit darin, sich eine solche Drehung vorzustellen. Eine Skizze wurde ausdrücklich eingefordert, ansonsten müsste ich an dieser Stelle noch einmal darauf hinweisen 😉

Stelle dich darauf ein, dass du die neuen Koordinaten der Ecken eines so gedrehten Körpers ermitteln sollst.

Auch hier ist dreidimensionale Vorstellungskraft gefragt. Wenn zum Beispiel eine Ebene durch einen Quader schneidet, kann die Schnittfigur unterschiedlich viele Ecken haben. Ein paar Beispiele:

Der linke Quader wird so geschnitten, dass ein Dreieck entsteht, beim mittleren ist die Schnittfläche ein Rechteck und beim rechten liegt die Schnittebene auf der Ecke auf, sodass die Schnittmenge nur aus einem Punkt besteht.

In 65% der geometriebasierten Klausuren wurde auf die Koordinatenebenen und -achsen verwiesen. Es ist also wichtig, die dazu gehörigen Gleichungen und Richtungsvektoren im Kopf zu haben.

\footnotesize{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}

\footnotesize{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}

\footnotesize{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}

\footnotesize{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}

\footnotesize{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}

\footnotesize{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}

In den Original-IQB-Klausuren sind die Achsen mit x₁, x₂ und x₃ beschriftet. Je nach Lehrbuch entspricht das x, y und z.

Die x₃ -Koordinate wird besonders häufig als Höhe eines Objektes erfragt.

Wird ein Punkt an einer der Koordinatenebenen gespiegelt, bleiben die entsprechenden zwei Koordinaten gleich, bei der dritten ändert sich das Vorzeichen.

Beispiel Symmetrie bezüglich der xy-Ebene:

A(5\vert2\vert3) \to A'(5\vert2\vert-3)

Eine Gerade durch A und A‘ schneidet die xy-Ebene senkrecht und beide Punkte sind gleich weit von dieser Ebene entfernt.

In einer entsprechenden Aufgabe sind mehrere Punkte gegeben, die du überprüfen sollst.

Beispiel:

B(2\vert-1\vert8) \qquad C(2\vert1\vert8)

Diese Punkte sind symmetrisch bezüglich der xz-Ebene.

Manchmal soll ein Punkt an einer anderen Ebene gespiegelt werden. Dafür brauchst du den Normalenvektor dieser Ebene. Mit den Punkt als Stützvektor und dem Normalenvektor als Richtungsvektor setzt du eine Geradengleichung auf. Der gespiegelte Punkt muss auf der anderen Seite der Ebene gleich weit entfernt sein.

Mehr Details findest du weiter unten im Kapitel über Geraden und Ebenen.

Eine flache Abbildung auf Papier ist für die Darstellung eines Punktes mit drei Koordinaten nicht eindeutig. Trotzdem war in mehr als der Hälfte der geometriebasierten Klausuren gefordert, dass Punktkoordinaten aus einer Abbildung entnommen werden.

Dabei ging es zum Beispiel um einen Quader, bei dem von den vier unteren Ecken drei gegeben waren. Durch diese zusätzlichen Bedingungen ist dann der vierte Eckpunkt festgelegt.

Zu jedem Punkt gibt es einen Ortsvektor. Dieser Ortsvektor gibt die direkte Verbindung vom Koordinatenursprung zum Punkt an. Vektorgleichungen sind im Prinzip eine Wegbeschreibung, wie du auf indirektem Weg zum Punkt P gelangst:

\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP}

In Worten bedeutet diese Gleichung, dass ich am Nullpunkt starte und über die Zwischenstationen A, B und C den Punkt P erreiche.

Hierbei ist besonders wichtig, dass du die Reihenfolge der Koordinatenachsen sicher beherrscht.

Erst nach vorne/hinten, dann nach rechts/links, dann nach oben/unten. Beachte, dass die x₁-Achse kürzere Abstände zwischen den Markierungen hat.

Zu jedem Punkt gibt es einen Ortsvektor. Dieser Ortsvektor gibt die direkte Verbindung vom Koordinatenursprung zum Punkt an. Vektorgleichungen sind im Prinzip eine Wegbeschreibung, wie du auf indirektem Weg zum Punkt P gelangst:

\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP}

Wenn du keine Abbildung hast, um daraus die Koordinaten zu entnehmen, suche dir im Text die Punkte zusammen, die gegeben sind. In der Aufgabenstellung wird dir beschrieben, in welchem Verhältnis der gesuchte Punkt zu den bekannten Punkten steht.

Ist der Punkt zum Beispiel 3 Längeneinheiten über einem anderen, dann addierst du zur z-Koordinate 3.

Immer wieder ist der Mittelpunkt einer Strecke, einer Fläche oder eines Körpers gesucht. Auch hier hilft eine Skizze.

Der gesuchte Ortsvektor vom Ursprung zum Mittelpunkt M (braun) kann ersetzt werden durch die „Umleitung“ über den bekannten Ortsvektor zum Punkt A und die Hälfte des Richtungsvektors von A nach B.

Berechne dazu den Vektor zwischen den beiden Punkten (falls nicht schon gegeben). Der Betrag dieses Vektors entspricht dem Abstand. Dafür quadrierst du alle Koordinaten des Vektors, addierst sie und ziehst aus dem Ergebnis die Wurzel.

\small{A(2\vert4\vert2)\quad B(5\vert4\vert6)\quad \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}}\\\quad\\\vert\overrightarrow{AB}\vert=\sqrt{3²+0²+4²}=5

Du kannst jeden der beiden Punkte für den Ortsvektor verwenden. Ich nehme aus Gewohnheit immer den ersten. Von diesem Punkt aus bildest du den Richtungsvektoren zum zweiten Punkt. Aus diesen Bausteinen setzt du deine Gleichung zusammen:

A(2\vert4\vert2) \quad B(5\vert4\vert6)\\\quad\\
\footnotesize{\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}5-2\\4-4\\6-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}}\\\quad\\\footnotesize{g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+\lambda\cdot\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\4\\2\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}}

Eine vektorielle Geradengleichung in der Parameterform besteht aus einem Ortsvektor, der die Gerade im Raum befestigt, und einem Richtungsvektor, der sie im Raum ausrichtet.

Vor dem Richtungsvektor ist der sogenannte Parameter, der im Falle einer Geraden jeden beliebigen Wert annehmen kann. Am besten stellst du dir den Parameter als Schieberegler vor.

Gerade durch A und B:

g: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+\lambda\cdot\overrightarrow{AB}

Damit du dieses Prinzip selbst ausprobieren kannst, habe ich eine einfache Darstellung einer Geraden auf Geogebra erstellt.

Das war einer der am häufigsten vorkommenden Aufgabentypen. Deswegen ist es besonders wichtig, dieses Verfahren auswendig zu können.

Meistens sind drei Punkte gegeben, in anderen Fällen musst du sie dir selbst überlegen. In allen Fällen war die Koordinatenform verlangt.

Du beginnst mit einer Ebenengleichung in Parameterform:

Du kannst jeden der drei Punkte für den Ortsvektor verwenden, ich nehme aus Gewohnheit immer den ersten. Von diesem Punkt aus bildest du die Richtungsvektoren zu den zwei anderen Punkten und setzt aus diesen drei Bausteinen diese Gleichung zusammen:

E: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+\mu\cdot\overrightarrow{AB}+\lambda\cdot\overrightarrow{AC}

Im nächsten Schritt berechnest du aus den beiden Richtungsvektoren den Normalenvektor, der senkrecht auf deiner Ebene steht:

Dafür verwendest du das Kreuzprodukt. Leider steht in der Formelsammlung nur die Anleitung für das Skalarprodukt, also solltest du das Kreuzprodukt rechtzeitig trainieren.

\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}

Der Punkt A ist weiterhin der Aufpunkt für den Ortsvektor. Damit erhältst du die Normalenform:

E:\big[\overrightarrow{x}-\overrightarrow{OA}\big]\circ\overrightarrow{n}=0

Durch das Ausmultiplizieren der Klammer ergibt sich die Koordinatenform:

E:\overrightarrow{x}\circ\overrightarrow{n}-\overrightarrow{OA}\circ\overrightarrow{n}=0

Beispiel:

\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}-1\\2\\5\end{pmatrix}\quad\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}-3\\4\\-3\end{pmatrix}\\\quad\\
\footnotesize{E:-1x_1+2x_2+5x_3-(-1\cdot3+2\cdot4+5\cdot(-3))=0}\\\quad\\E:-1x_1+2x_2+5x_3+10=0\\\quad\\E:-1x_1+2x_2+5x_3=-10

Die 10 darf als +10 links vom Gleichheitszeichen stehen bleiben. Es ist nur allgemein Tradition, sie am Ende auf die rechte Seite zu schieben, indem von beiden Seiten der Gleichung 10 abgezogen werden.

Die Parameterform einer Ebenengleichung sieht so aus:

E: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+\mu\cdot\overrightarrow{AB}+\lambda\cdot\overrightarrow{AC}

Um damit möglichst frei und kreativ umgehen zu können, solltest du die Bedeutung der einzelnen Bausteine verstanden haben.

X ist ein beliebiger Punkt in der Ebene. Der rechte Teil der Gleichung ist eine Art Reisebeschreibung. Wir starten am Ursprung 0 und gehen zunächst zum Aufpunkt A.

Dann bewegen wir uns in Richtung des Vektors zwischen AB und zwar so weit, wie es der Parameter µ vorschreibt. Ist µ negativ, bewegen wir uns in die entgegengesetzte Richtung des Vektors von B nach A. Als letzten Schritt bewegen wir uns parallel zum Vektor zwischen A und C.

Die Parameter kannst du auch als Schieberegler verstehen. Damit du dieses Prinzip selbst ausprobieren kannst, habe ich eine einfache Darstellung einer Ebene auf Geogebra erstellt.

Oft wird gefragt, ob ein Punkt Teil einer Geraden oder einer Ebene ist. Dafür werden seine Koordinaten eingesetzt oder die Ebene/Gerade in Parameterform dem zum Punkt gehörenden Ortsvektor gleichgesetzt.

Beim Einsetzen in die Koordinatenform musst du nur ausrechnen, ob die Gleichung aufgeht.

Beim Gleichsetzen entsteht ein Gleichungssystem, das für die beteiligten Variablen gelöst werden muss. Gibt es hierbei eine Lösung, dann ist der Punkt in der Geraden oder der Ebene.

Zwei Geraden können sich schneiden oder identisch, echt parallel oder windschief sein. Andere Optionen gibt es im dreidimensionalen Raum nicht.

Im ersten Schritt vergleichst du die Richtungsvektoren. Ob diese parallel sind, ist auf den ersten Blick offensichtlich, wenn du den einen Vektor mit einer Zahl multiplizieren kannst und dadurch den anderen Vektor erhältst.

-2\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-4\\-10\end{pmatrix}

In diesem Fall machst du mit dem Ortsvektor der einen Geraden die Punktprobe mit der anderen Geradengleichung. Ist der Punkt in der anderen Geraden enthalten, sind die beiden Geraden identisch, ansonsten sind sie echt parallel.

Nicht parallele Geraden schneidest du, indem du sie gleichsetzt und das dabei entstehende Gleichungssystem löst. Hat das System keine Lösung, sind die beiden Geraden windschief.

Bei genau einer Lösung gibt es einen Schnittpunkt. Die Parameterwerte aus dieser einen Lösung setzt du in die jeweiligen Geradengleichungen ein, um den Schnittpunkt zu ermitteln.

Grundsätzlich reicht es, nur einen einen Parameter in die passende Gleichung einzusetzen. Wenn du eine Minute Zeit hast, ist es meiner Ansicht nach immer schön, auf beiden Wegen denselben Punkt zu berechnen und damit mehr Sicherheit zu haben 🙂

Zwei Ebenen können sich schneiden, identisch oder echt parallel sein. Andere Optionen gibt es im dreidimensionalen Raum nicht.

Zur Bestimmung der gegenseitigen Lage eignet sich die Normalenform besonders gut: Sind die beiden Normalenvektoren parallel, dann sind es auch die beiden Ebenen.

In allen anderen Fällen ergibt sich eine Schnittgerade. In den Klausuren zwischen 2017 und 2023 war nie gefordert, dass du diese Gerade selbst berechnest, in manchen Fällen war sie allerdings gegeben und sollte kommentiert werden.

Sollte in der Zukunft mal eine Schnittgerade gefordert sein, kannst du dich mit diesem Video von MathemaTrick darauf vorbereiten 🙂

Eine Gerade kann zu einer Ebene parallel sein, diese schneiden oder in der Ebene liegen. Andere Optionen gibt es im dreidimensionalen Raum nicht.

Zur Bestimmung der gegenseitigen Lage hilft es, wenn die Ebene in der Normalenform gegeben ist: Stehen Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zueinander, sind die Ebene und die Gerade parallel.

Wenn du den Aufpunkt der Geraden in die Ebenengleichung einsetzt, findest du heraus, ob er in der Ebene liegt oder nicht. Damit liegt dann auch g in E oder eben nicht.

Liegen sowohl g als auch E in der Parameterform vor, ist es auch möglich, die beiden gleichzusetzen und das entsprechende Gleichungssystem mit drei Variablen zu lösen.

Das ist im Verlgleich zum Bilden des Normalenvektors allerdings mehr Aufwand. Erstens kostet es mehr Zeit und die Optionen, sich durch einen Vorzeichenfehler zu verrechnen, sind beim Kreuzprodukt und beim Gleichungssystem ziemlich gleich.

Ist E in der Koordinatenform gegeben, liest du den Normalenvektor an der Gleichung ab:

E:2x_1-x_3=5\\\quad\\ \overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}

Die Koordinaten für den Normalenvektor stehen vor x₁, x₂ und x₃ inklusive der jeweiligen Vorzeichen.

Kommt eine Koordinate in der Gleichung nicht vor, schreibst du an der Stelle im Normalenvektor eine 0.

Steht vor einer Koordinate in der Ebenengleichung keine Zahl, schreibst du in den Normalenvektor entsprechend eine 1.

Alternativ kannst du auch die vektorielle Geradengleichung in drei Gleichungen auseinander nehmen und in die Koordinatenform der Ebene einsetzen:

E:2x_1+x_2-3x_3=2\\\quad\\
g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix}\\\quad\\x_1=1-2\lambda\\x_2=4+1\lambda\\
x_3=3+4\lambda\\\quad\\\small{E:2\cdot(1-2\lambda)+(4+1\lambda) -3\cdot(3+4\lambda)=2}

Die letzte Gleichung stellst du nach λ um. Wenn es eine Lösung gibt, sind g und E nicht parallel. Das λ setzt du in die Geradengleichung ein und erhältst dadurch den Schnittpunkt.

Regelmäßig ist das Verhältnis gefragt, in dem eine Strecke geschnitten wird. Dafür berechnest du zunächst den Schnittpunkt.

In diesem Beispiel ist S der Schnittpunkt zwischen der Geraden g und der Strecke von A nach B.

Wenn du den Abstand von A zu S und von S zu B ermittelst und den einen Wert durch den anderen teilst, hast du das Verhältnis.

Es kann vorkommen, dass S eine Variable enthält, zum Beispiel, wenn g eine Geradenschar ist. Dann enthält das Verhältnis sehr wahrscheinlich auch diese Variable.

Dieses Verfahren auf dem Schirm zu haben, ist sehr hilfreich, weil es immer wieder bei Fragen nach Abständen verwendet werden muss.

Das Prinzip ist relativ übersichtlich, allerdings sind meine Schüler*innen immer wieder verwirrt, wenn sie dabei nur die Zahlen und Vektoren vor Augen haben.

Wenn wir einen Punkt und eine Ebene betrachten, dann nehmen wir den gegebenen Normalenvektor der Ebene und den Ortsvektor zum Punkt. Aus diesen beiden Komponenten setzen wir eine Gerade zusammen. Diese ist automatisch senkrecht zur Ebene (daher der Begriff Lot) und geht durch P.

Der Schnittpunkt aus dieser Geraden und der Ebene ist der Lotfußpunkt L. Der Betrag des Vektors von P nach L ist der Abstand des Punktes von der Ebene.

Alternativ kann auch die Ebenengleichung in die Hessesche Normalen- beziehungsweise Koordinatenform umgewandelt und die Koordinaten des Punktes P eingesetzt werden. Dieses Verfahren steht allerdings leider nicht in der zugelassenen Formelsammlung.

Wenn wir einen Punkt und eine Gerade betrachten, dann nehmen wir den gegebenen Richtungssvektor der Geraden und den Orzsvektor zum Punkt. Aus diesen beiden Komponenten setzen wir eine Ebene in der Normalenform zusammen. Diese ist automatisch senkrecht zur Geraden (daher der Begriff Lot) und enthält den Punkt P.

Der Schnittpunkt aus dieser Ebene und der Geraden ist der Lotfußpunkt L. Der Betrag des Vektors von P nach L ist der Abstand des Punktes von der Geraden.

In Prinzip kannst du mit diesem Verfahren auch den Abstand zweier windschiefer Geraden berechnen.

Genau wie in der Analysis Funktionsscharen vorkommen, gibt es in der analytischen Geometrie Scharen von Punkten, Geraden und Ebenen. Dazu werden eine oder mehrere Zahlen in den Koordinaten der beteiligten Vektoren durch Variablen ersetzt.

Eine Beispielfrage könnte lauten:

„Für welches k enthält die Ebene E den Punkt P?“

In solchen Fällen behandelst du die Variable zunächst wie eine Zahl und rechnest je nach Situation mutig los. In der Beispielfrage ging es darum, ob der Punkt in der Ebene liegt. Dafür machst du einfach eine Punktprobe, setzt als den Punkt mit der Ebene (in Parameterform) gleich oder setzt ihn (in die Koordinaten- oder Normalenform) ein.

Ganz am Ende deiner Rechnung steht dann die Variable der Lösung gegenüber.

Mein Tipp ist wirklich immer, erst einmal mit dem anzufangen, was du hast und was du kannst. Wenn du die Rechenverfahren verstanden hast und sicher beherrschst, kannst du auch mit Scharen umgehen 🙂

Der erste Schritt sollte immer sein: Mach dir eine Skizze!

Folgende Figuren kamen teils mehrfach vor:

Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleich lange Seiten. Entsprechend musst du zwei Vektoren mit gleichen Beträgen finden.

Für ein rechtwinkliges Dreieck musst du zwei Vektoren finden, die zueinander senkrecht stehen.

Für ein Rechteck musst du zwischen den beteiligten Vektoren mit dem Skalarprodukt rechte Winkel nachweisen. Dass die gegenüberliegenden Vektoren identisch sind, siehst du ihnen an, sobald du sie berechnet hast,

Beim Quadrat ist über das Rechteck hinaus noch zu berechnen, dass alle vier Seiten gleich lang sind.

Für ein Parallelogramm ist nachzuweisen, dass die gegenüberliegenden Seiten identische Vektoren liefern.

Beim Trapez müssen zwei gegenüberliegende Seiten parallel, aber nicht gleich lang sein. Die Längen und Richtungen der anderen beiden Seiten sind irrelevant.

Die relevanten Formeln für Dreiecke, Parallelogramme, Trapeze, Kreise und Drachenvierecke stehen in der Formelsammlung. Du musst nur die Formeln für Rechtecke und Quadrate auswendig wissen 🙂

In den meisten Aufgaben ist die eigentliche Schwierigkeit, dass du die Koordinaten der beteiligten Eckpunkte finden und Abstände berechnen musst.

Beim Dreieck und beim Parallelogramm ist es auch möglich, statt der aus der Mittelstufe bekannten Formeln das Vektorprodukt zu verwenden. Dieser Zusammenhang sollte dir geläufig sein:

A_{Parallelogramm}=\vert\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\vert\\\quad\\A_{Dreieck}=\frac{1}{2}\cdot\vert\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\vert

Du berechnest also das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt) und im Anschluss den Betrag des Ergebnisvektors.

Die Formeln für das Volumen der Spitzkörper Pyramide und Kegel stehen in der Formelsammlung. Dafür musst du die relevanten Eckpunkte und Abstände ermitteln.

Alternativ ist es auch möglich, das Volumen einer Pyramide mit dreieckiger Grundfläche durch das Spatprodukt zu berechnen. Dieser Zusammenhang sollte dir geläufig sein.

V_{Pyramide}=\frac{1}{6}\cdot(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})\circ\overrightarrow{c}

Die Formel für Prismen steht in der Formelsammlung. Sie gilt auch für Quader, falls du vor lauter Stress auf dem Schlauch stehst 🙂

Immer wieder kommen Körper vor, die komplizierter aussehen. Deine Aufgabe ist es, sie in Quader, Prismen und Pyramiden zu zerlegen, die Einzelvolumina zu berechnen und am Ende zusammen zu addieren.

Eine Pyramide mit einer viereckigen Grundfläche schneidest du in zwei Pyramiden mit jeweils dreieckiger Grundfläche. Die beiden kleineren Teile berechnest jeweils du mit dem Spatprodukt.

Das Skalarprodukt zeigt dir, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen, wenn es Null ist.

An dieser Stelle: Die Begriffe „senkrecht“, „orthogonal“ und „rechtwinklig“ bedeuten alle genau dasselbe, und zwar einen Winkel von 90° 😀

Ist das Skalarprodukt nicht Null, kannst du den Winkel zwischen den beiden Vektoren ermitteln. Die Formel dazu (und auch, wie du das Skalarprodukt berechnest) steht in der Formelsammlung.

Du brauchst das Skalarprodukt und die Beträge der beiden beteiligten Vektoren. Den cos^-1 berechnet dein Taschenrechner.

\gamma=cos^{-1}\Bigg(\frac{\overrightarrow{a}\circ\overrightarrow{b}}{\vert\overrightarrow{a}\vert\cdot\vert\overrightarrow{b}\vert}\Bigg)

Oft wurde nach dem „Neigungswinkel einer Ebene zur Horizontalen“ gefragt. Das bedeutet:

In welchem Winkel steht die Ebene zur xy-Ebene, also zur „Bodenplatte“ des Koordinatensystems?

Dafür musst du den Winkel zwischen dem z-Vektor und dem Normalenvektor der betrachteten Ebene berechnen.

Der Schnittwinkel zwischen zwei Geraden ist der Winkel zwischen ihren zwei Richtungsvektoren.

Zwischen einer Geraden und einer Ebene liegt ein Schnittwinkel von 90° abzüglich dem Winkel zwischen dem Richtungswinkel der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene.

Der Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen ist der Winkel zwischen ihren zwei Normalenvektoren.

Sollst du eine Gerade durch einen gegebenen Punkt und senkrecht zu einer Ebene aufstellen, ist der Punkt der Aufpunkt und der Normalenvektor der Ebene der Richtungsvektor der Geraden.

Wenn du eine beliebige Gerade durch einen Punkt und parallel zu einer Ebene nennen sollst, ist der Punkt wieder der Aufpunkt. Für den Richtungsvektor bildest du einen Vektor senkrecht zum Normalenvektor der Ebene. (Siehe nächster Punkt „Senkrechte zu einer Geraden“)

Sollst du ganz allgemein eine Senkrechte zu einer Geraden g angeben, verwendest du ihren Aufpunkt für den Ortsvektor der neuen Geraden. Für den Richtungsvektor wandelst du den Richtungsvektor von g folgendermaßen um:

Setze eine Koordinate auf Null, vertausche die anderen beiden Koordinaten und ändere bei einer der beiden Zahlen das Vorzeichen.

Beispiel:

\scriptsize{\begin{pmatrix}1\\-3\\5\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}0\\5\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\-5\\-3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}5\\0\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-5\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-3\\-1\\0\end{pmatrix}}

Du solltest auf dem Schirm haben, wie du km, m, dm, cm und mm ineinander umrechnest.

Es kam mehrfach vor, dass einer Längeneinheit oder [LE] im Sachzusammenhang eine bestimmte Länge zugeordnet wurde und das bei der Antwort auf eine Frage mitbedacht werden musste.

Unter anderem entsprach einmal 1 [LE] der Länge von 80cm. Fehlte die abschließende Umrechnung in der Antwort, kostete das Punkte.

Der Richtungsvektor einer Geraden kann entlang einer Kante eines Körpers verlaufen. Er ist aber besonders interessant in Aufgaben, in denen er in die Richtung zeigt, in die sich etwas bewegt, oder in die ein Lichtstrahl leuchtet.

Regelmäßig wird in einer Abiturklausur Vektorrechnung verglichen, in welcher Beziehung eine Bewegung zu den Himmelsrichtungen steht. Oder zur sogenannten Horizontalen, die mathematisch gesehen die xy-Ebene ist, auf der der z-Vektor (0|0|1) senkrecht steht.

Vektoren sind Größen, die eine Richtung und einen Betrag, oder anders gesagt eine Länge haben. Diese Länge wird in Sachaufgaben oft verwendet, um die Geschwindigkeit einer Bewegung anzuzeigen.

Du hast vermutlich während deiner Zeit in der Oberstufe Aufgaben gerechnet, in denen Flugzeuge durch die Gegend fliegen. Genau diese Art Sachaufgaben bieten sich für Abituraufgaben an. Daher ist es sinnvoll, wenn du dich vorher darauf einstellst und dir das Konzept dahinter noch einmal verdeutlichst.

Immer wieder ist zu beurteilen, ob ein Gegenstand eine gegebene Fläche berührt. Das kann eine Wand oder Mauer, aber auch ein eingegrenztes Stück auf dem Boden sein.

Um das herauszufinden, schneidest du die Gerade, auf der sich der Körper bewegt, mit der Ebene, in der die Fläche liegt. Dann musst du vergleichen, ob der Schnittpunkt von den Koordinaten her zwischen den Eckpunkten der begrenzten Fläche liegt oder nicht. (Am besten mit Hilfe einer Skizze!)

Es gab auch zwei Klausuren, in deren Geschichten sich ein Ball auf einer Parabelbahn bewegte. Dafür war eine Schar von Punkten gegeben, in der der Parameter t für die Zeit in Sekunden stand.

P(32 − 8t \enspace\vert\enspace 5 \enspace\vert\enspace −5t 2 + 6,5t + 0,3)

Wenn gefragt ist, wo der Ball den Boden berührt, setzt du die z-Koordinate gleich null und löst die Gleichung nach t auf. Nur eine positive Zeit ist im Sachzusammenhang sinnvoll, weil der Ball ja nicht in die Vergangenheit fliegt. Und dieses t setzt du noch bei der x-Koordinate ein:

-5t²+6,5t+0,3 =0 \\\quad\\\implies t_1=1,34 \enspace\land\enspace t_2=-0,04\\\quad\\32-8\cdot1,34=21,28 \to P(21,28\vert5\vert0)

Diese Koordinaten gleichst du dann wie oben beschrieben mit den Eckpunkten der Fläche ab.

Wenn gefragt ist, ob der Ball in einer Fläche auf einer beliebigen Ebene auftrifft, setzt du P in diese Ebene ein, erhältst t und damit wieder die Koordinaten des Schnittpunktes.

In mehr als einer Klausuraufgabe war ein Schatten zu konstruieren. Auch wenn das nach Physik klingt und vielleicht irgendwie schwierig, ist es nur wieder das Schneiden von Geraden (Lichtstrahlen) mit Ebenen (Wände, Erdboden).

Wenn es um Sonnenlicht geht, ist der Richtungsvektor immer gegeben. Du nimmst einen Eckpunkt des beleuchteten Körpers für den Ortsvektor und fertig ist die Geradengleichung. Sobald dir klar ist, auf welche Ebene der Schatten fällt, kannst du den Schnittpunkt und damit einen Eckpunkt des Schattens berechnen.

Wenn es um eine Lampe (sogenannte „punktförmige Lichtquelle“) geht, sind ihre Koordinaten gegeben. Diesen Punkt nimmst du für den Ortsvektor. Aus dem Ort der Lampe und dem Eckpunkt des Körpers berechnest du den Richtungsvektor der Geraden. Schon hast du die Geradengleichung für deinen Lichtstrahl, den du dann mit der Wand schneiden kannst.

Wie immer: Mach dir am besten eine Skizze 😉

Du solltest auf dem Schirm haben, wie du Stunden, Minuten und Sekunden ineinander umrechnest. Vor allem, wenn es um Geschwindigkeiten geht.

Es könnte sein, dass sich aus einer Abbildung eine Strecke in Metern und eine Zeit in Sekunden ergibt, du aber die Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde angeben sollst.

1 km/h ≈ 0,278 m/s

1 m/s = 3,6 km/h

Grundsätzlich brauchst du dafür die Strecke, um die sich ein Körper bewegt hat, und die Zeit, die er dafür brauchte. Dann teilst du die Strecke durch die Zeit.

Wenn der Richtungsvektor die Geschwindigkeit repräsentiert, musst du seinen Betrag ermitteln.

Beispiel:

In der folgenden Geraden g haben die Koordinaten die Einheit Meter, der Parameter λ hat die Einheit Sekunde.

g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}\sqrt{2}\\3\\5\end{pmatrix}\\\quad\\\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}\sqrt{2}\\3\\5\end{pmatrix}\end{vmatrix}=\sqrt{2+9+25}=6

Die Geschwindigkeit ist in diesem Fall 6 m/s.

Oft fangen Matrizenaufgaben mit einem Übergangsdiagramm an. Zum Beispiel wechseln Wähler*innen von einer Partei zu einer anderen und zurück. Oder Insekten legen Eier, aus denen Larven werden und letztendlich wieder neue Insekten.

Du solltest in der Lage sein, die Zahlen an den Pfeilen in deinen eigenen Worten erläutern zu können. Beispielsweise so:

„Innerhalb eines Jahres wechseln 80% der Kundinnen der Marke A zur Marke B, während 35% der Kundinnen der Marke B zur Marke A übergehen.“

Es ist immer wieder die Aufgabe, nachzuvollziehen, wie aus einem solchen Übergangsdiagramm eine Übergangsmatrix entstanden ist und einzelne noch fehlende Elemente in der Matrix nachzutragen.

In ein paar Klausuren bestand eine Aufgabe darin, aus einem ausformulierten Text ein Übergangsdiagramm zu zeichnen.

Dieses Diagramm muss keinen Schönheitspreis gewinnen. Es reicht, wenn die Pfeile deutlich erkennbar in die richtige Richtung zeigen und die Zahlen korrekt angebracht sind.

Es ist für die spätere Rechnung zu empfehlen, Prozentzahlen gleich in Dezimalzahlen umzuwandeln. Also statt 85% schreibst du 0,85, statt 2% schreibst du 0,02. Dann brauchst du im Anschluss nur noch zu multiplizieren, statt dir einen Dreisatz zu überlegen.

Beispiel: 35% von 250 €

Als Dreisatz:

Als Multiplikation:

250 € · 0,35 = 87,50 €

Dir sollte geläufig sein, dass in einer Übergangsmatrix die Elemente angeben, wie viel % von einem Zustand in einen anderen wechseln.

Beispiel:

\enspace\quad von\quad\enspace A\quad\quad B\quad\quad C\\
nach \quad
\begin{matrix}A\\B\\C\end{matrix}\begin{pmatrix}0,25&0,1&0,4\\0,15&0,7&0,04\\0,6&0,2&0,56\end{pmatrix}

Im Sachzusammenhang wandern zum Beispiel 60 % der Kundinnen von A nach C, während 70% der Kundinnen von B ihrer Marke treu bleiben.

Bei Produktionsmatrizen ist die Richtung von -> nach umgekehrt:

\enspace\space nach\quad\enspace P_1\quad P_2\\
von \quad
\begin{matrix}R_1\\R_2\\R_3\end{matrix}\begin{pmatrix}2&1\\10&18\\0,5&4\end{pmatrix}

In diesem Beispiel werden für das Produkt P₁ 10 Einheiten des Rohstoffes R₂ gebraucht, während für das Produkt P₂ 4 Einheiten des Rohstoffes R₃ nötig sind.

In einem Fall sollte ein Vektor, der die Verteilung verschiedener Menschen auf drei Gruppen beschrieb, als Ortsvektor im dreidimensionalen Raum betrachtet und in ein Koordinatenzentrum eingezeichnet werden.

Wenn wir davon ausgehen, dass die Gesamtzahl dieser Menschen sich nicht ändert, ist damit die Länge des Vektorpfeiles begrenzt. In der Aufgabe sollte das entsprechend argumentiert werden. Es war die Frage, ob der zum Verteilungsvektor gehörende Punkt außerhalb eines gegebenen Quaders liegen könnte.

In Aufgaben zu Produktionsprozessen werden mehrere Matrizen angegeben: Von den Rohstoffen zu den Zwischenprodukten und von den Zwischenprodukten zu den Endprodukten. Manchmal ergeben sich zwischenzeitlich auch Matrizen von den Rohstoffen direkt zu Endprodukten. In manchen Fällen waren letztere von Anfang an gegeben.

Zur Beantwortung verschiedener Fragen ist es wichtig, dass du aufpasst und jeweils die richtige Matrix auswählst. Manchmal haben die Matrizen die gleichen Anzahlen an Zeilen und Spalten und sind daher nicht ganz so leicht zuzuordnen. Dann hilft ein Blick in das Diagramm und ein Vergleich der Zahlen „von -> nach“.

Ein Skalar ist eine Zahl ohne Richtung im Gegensatz zu einem Vektor.

Wird eine Matrix mit einem Skalar multipliziert, dann wird jedes Element der Matrix mit dem Skalar multipliziert.

In einer Matrixklausuraufgabe war der Betrag eines solchen Skalars gefragt. Im Prinzip musst du für die Antwort zwei Matrizen vergleichen und überlegen, um welchen Faktor sie sich unterscheiden.

Beispiel:

n\cdot\begin{pmatrix}4&2\\5&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12&6\\15&-3\end{pmatrix}\\\quad\\n\cdot4=12\\n\cdot2=6\\n\cdot5=15\\n\cdot(-1)=-3\\\quad\\\implies n=3

Die beiden Matrizen unterscheiden sich in allen Elementen um den Faktor 3. Das ist also der gesuchte Skalar.

Die Matrizenmultiplikation ist vom rein rechnerischen Verfahren her einfach, der wichtigste Punkt ist, dass du dich konzentrierst und darauf achtest, dass du immer eine Zeile mit einer Spalte verbindest.

Dieses Video von MathemaTrick zeigt dir das Verfahren in Aktion.

In Produktionsprozessen gibt es Matrizen von Rohstoffen zu Zwischenprodukten (RZ) und von den Zwischenprodukten zu den Endprodukten (ZE). Eine immer weder gefragte übergeordnete Übergangsmatrix drückt den Prozess von den Rohstoffen zu den Endprodukten aus (RE).

Wenn der Rohstoffvektor R heißt und der Produktvektor P, dann kannst du R so berechnen:

\overrightarrow{R}=RE\cdot\overrightarrow{P}

Wenn es noch einen Zwischenproduktvektor Z gibt, sind das die Zusammenhänge:

\overrightarrow{R}=RZ\cdot\overrightarrow{Z} \\\quad\\
\overrightarrow{Z}=ZE\cdot\overrightarrow{P}

Du erhältst RE durch Multiplikation:

RE = RZ · ZE

Es kommen in Aufgaben auch manchmal andere Bezeichnungen für diese drei Matrizen vor. Welche welche ist, ergibt sich aus dem Zusammenhang, oft sieht die Benennung aber so aus:

RZ -> A ZE -> B RE -> C

In Aufgaben mit Tier- oder Pflanzenpopulationen ist es möglich, zum Beispiel von einem Jahr zum nächsten zu rechnen. Hier sollst du regelmäßig Matrizen für größere Zeiträume angeben oder das Verfahren beschreiben, wie solche Matrizen berechnet werden können.

Du erhältst die Matrix für größere Zeiträume durch Potenzieren. Gilt die Matrix A zum Beispiel für ein Jahr und du sollst einen Term für eine Zehn-Jahres-Matrix B angeben, sieht die Antwort so aus:

B = A¹⁰

Es ist realistisch, dass du den Term so stehen lassen sollst, ohne ihn auszurechnen. Denn so eine lange Reihe von Multiplikationen hintereinander bringt nichts außer Zeitaufwand und ist ein schöner Anlass, sich zu verrechnen.

Ist eine Matrix C für einen Rhythmus von zum Beispiel nur zwei Jahren gesucht, wird nicht nur eine Beschreibung des Vorgehens erwartet. Denn hier ist der Rechenaufwand zumutbar. In diesem Fall berechnest du tatsächlich:

C = A · A

Es gab Aufgaben zu Produktionsabläufen, in denen eine Firma ein neues Endprodukt E4 einführte. Im Ergebnis wurde die Rohstoff-Endprodukt-Matrix um eine Spalte erweitert.

C=\begin{pmatrix}0,5&0,2&0\\0&0,56&0,96\\0,04&0,044&0,048\end{pmatrix}\\\quad\\C'=\begin{pmatrix}0,5&0,2&0&u\\0&0,56&0,96&v\\0,04&0,044&0,048&0,06\end{pmatrix}

Die Fragestellung lautete:

„Ermitteln Sie die Summe der Mengeneinheiten der Zwischenprodukte, die zur Herstellung einer Mengeneinheit von E4 erforderlich ist.“

An dieser Stelle begann der Lösungsweg damit, zunächst auf dem Arbeitsblatt die gegebenen Matrizen zu identifizieren, die den Übergang von den Rohprodukten zu den Zwischenprodukten und von den Zwischenprodukten zu den Endprodukten E1 bis E3 beschreiben:

A=\begin{pmatrix}0,5&0\\0&0,8\\0,04&0,04\end{pmatrix}\quad B=\begin{pmatrix}1&0,4&0\\0&0,7&1,2\end{pmatrix}

An der Herstellung der Zwischenprodukte ändert sich nichts, A kann also unverändert weiterverwendet werden.

B lässt sich um die unbekannten Mengen der Zwischenprodukte Z1 und Z1 erweitern, die für E1 gebraucht werden:

B'=\begin{pmatrix}1&0,4&0&x\\0&0,7&1,2&y\end{pmatrix}

Jetzt muss dir klar sein, dass C‘ = A · B‘ ist. Wenn du A mit B‘ multiplizierst und das Ergebnis mit C‘ vergleichst, siehst du, dass

0,04\cdot x+0,04\cdot y=0,06 \implies x+y=1,5

Die Summe aus x und y ist auch schon direkt die Antwort auf die Frage. Was hier zur Lösung der Aufgabe notwendig ist, ist ein Verständnis des Konzeptes hinter der Berechnung von Prozessen.

Solltet ihr also Matrizen behandelt haben, kann es also sein dass eine entsprechende Klausur verwendet wird und du nicht nur geübte Verfahren abarbeiten musst. Solltest du an einer Stelle im Text das Gefühl haben, dass dir Informationen fehlen, lies noch einmal den Anfang des Arbeitsblattes. Oft musst du Werte oder Formeln verwenden, die dort angegeben sind.

In anderen Aufgaben wurde von einem Monat zum nächsten ein Restaurant geschlossen. Die Personen in der Geschichte hatten daher keine Möglichkeit mehr, zu diesem Restaurant zu wechseln. Einen Monat lang galt deswegen eine andere Matrix:

N=\begin{pmatrix}0,9&0,34&0,4\\0,1&0,66&0,6\\0&0&0\end{pmatrix}

Die drei Zeilen und drei Spalten gelten jeweils für die drei Restaurants. Aus der dritten Zeile ist ablesbar, dass in diesem Monat niemand mehr nach R3 wechselt. Aus der dritten Spalte ist ablesbar, dass von R3 40% der Personen zu R1 wechseln und 60% zu R2.

Eine Frage lautete:

„Begründen Sie, dass aus der Verteilung im Monat nach der Schließung mithilfe des Modells nicht auf die Verteilung der Kunden unmittelbar vor der Schließung geschlossen werden kann.“

Wenn du N zum „Rückwärtsrechnen“ einsetzt, bekommst du ein Gleichungssystem ohne eindeutige Lösung. Für Fragen des Musters „Begründen Sie, dass nicht“ rate ich dazu, das Gegenteil der Behauptung anzunehmen, also hier dass es möglich ist, zurück zu rechnen. Auf dieser Basis machst du so lange weiter, bis du auf einen Widerspruch stößt. Dieser Widerspruch ist deine Begründung.

Generell wird immer wieder danach gefragt, welche Matrix sich von welcher herleiten lässt und welche nicht. Wenn zum Beispiel die Kund:innen eines Stromtarifs nochmal in zwei unterschiedliche Gruppen aufgeteilt werden, lassen sich die beiden neuen Anteile zum alten Wert zusammenaddieren.

10 % der Personen in Tarif A1, 15% in Tarif A2 -> 25% der Personen in der übergeordneten Kategorie A

30 % der Personen in Kategorie B -> Wie sich diese Personen in B1 und B2 aufteilen, ist nicht vorhersehbar.

Um eine Population im nächsten Zeitabschnitt (je nach Aufgabe Jahr, Monat oder Tag) zu berechnen, multiplizierst du die Übergangsmatrix mit dem aktuellen Populationsvektor.

Etwas komplizierter wird es, wenn du mehrere Zeitabschnitte in die Zukunft rechnen sollst.

In einer Aufgabe war eine Matrix gegeben für eine Wolfspopulation bezogen auf einen Ein-Jahresrhythmus. Betrachtet wurden weibliche Tiere im Alter von einem, zwei und mindestens drei Jahren. 72% der Tiere sollten in den ersten zwei Lebensjahren sterben, gefragt war nach dem Wert für x:

\begin{pmatrix}0&0&3\\x&0&10\\0&0,7&0,8\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&0&3\\x&0&10\\0&0,7&0,8\end{pmatrix}\\\quad\\=\begin{pmatrix}0&0,21&0,24\\0&0&3x\\0,7x&0,56&0,64\end{pmatrix}

Die übergeordnete Matrix im Zweijahresrhytmus enthält dem Term 0,7x an der Stelle, die angibt, welcher Anteil der einjährigen Tiere eines Jahrgangs nach zwei Jahren noch leben und dann in die Gruppe der mindestens drei Jahre alten Tiere übergehen. Wenn 72% von ihnen sterben, sind noch 28% übrig:

0,7 x = 0,28 -> x = 0,4

Im Sachzusammenhang bedeutet das, dass von den einjährigen Wölfinnen 40% das Alter von zwei Jahren erleben. In dieser Altersklasse ist, anders herum gesagt, die Sterblichkeit 60%.

Manchmal ist der aktuelle Populationsvektor nicht gegeben, aber eine bestimmte zukünftige Verteilung gefordert, zum Beispiel, dass drei beteiligte Gruppen gleich groß sind, also alle einen Anteil von 1/3 haben. Dann nimmst du einen aktuellen Vektor (x/y/z) an, multiplizierst die Matrix damit und setzt das Produkt dem geforderten Vektor gleich. Dieses Verfahren läuft rechnerisch genauso wie das Rechnen in die Vergangenheit, siehe nächster Punkt.

Um eine Population im vorherigen Zeitabschnitt (je nach Aufgabe Jahr, Monat oder Tag) zu berechnen, multiplizierst du die Übergangsmatrix mit einem unbekannten Populationsvektor (x/y/z) und setzt dieses Produkt dem aktuellen und bekannten Populationsvektor gleich:

Das kann folgendermaßen aussehen:

\begin{pmatrix}0&0&2,5\\0,5&0&0\\0&0,8&0,6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}100\\250\\80\end{pmatrix}

Durch Ausmultiplizieren erhältst du ein Gleichungssystem:

I \quad\quad\quad\enspace2,5\cdot z=100 \\ II\quad\quad\quad\enspace  0,5\cdot x=250\\III\quad 0,8\cdot y+0,6\cdot z=80

Als Lösung erhältst du x = 500, y = 70 und z = 40. Das sind die Bestandszahlen vom letzten Jahr, Monat oder Tag, je nach Aufgabe.

Die Variablen x, y, und z können natürlich je nach Geschichte anders heißen. Zum Beispiel e für Eier, l für Larven und s für Schmetterlinge.

Eine übliche Aufgabe fragt nach einer „stabilen Verteilung“ oder einer Population „die sich nicht mehr verändert“. Der dazu gehörende Vektor wird auch als Fixvektor bezeichnet, weil der Zustand der Population ab diesem Zeitpunkt fixiert ist.

Dafür multiplizierst du die Matrix mit einem unbekannten Vektor und setzt das Produkt dem unbekannten Vektor gleich. Mit anderen Worten suchst du also nach dem Vektor, der bei diesem Vorgehen selbst wieder herauskommt. Du kannst die Matrix beliebig oft wieder mit diesem Vektor multiplizieren, das Ergebnis ist immer wieder dasselbe.

Das könnte beispielsweise so aussehen:

\begin{pmatrix}0&0&2\\0,5&0&0\\0&0,8&0,2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}

Durch Ausmultiplizieren erhältst du ein Gleichungssystem:

I \quad\quad\quad\quad2\cdot z=x \\ II\quad\quad\quad\enspace  0,5\cdot x=y\\III\enspace 0,8\cdot y+0,2\cdot z=z

Dieses Gleichungssystem hat keine eindeutige Lösung, weil nach dem „Aufräumen“, also dem Verschieben aller Variablen auf die linke Seite, rechts vom Gleichheitszeichen in jeder Gleichung eine Null steht.

Um ein Ergebnis zu erhalten, musst du für eine der Variablen eine konkrete Zahl vorgeben (die in der Aufgabe genannt wird). Soll zum Beispiel x= 100 sein, ergibt sich der Vektor (100/50/50).

Alternativ sollst du davon ausgehen, dass alle Tiere/Pflanzen zusammengezählt 100% entsprechen, also x + y + z = 1 ergibt. Damit bekommst du im vorliegenden Fall einen eindeutigen Vektor von (0,5/0,25 /0,25). Eine unendliche Anzahl möglicher stabiler Verteilungen sind Vielfache dieses Vektors.

Sollte das Gleichungssystem tatsächlich keine Lösung haben, gibt es keinen Fixvektor.

In einer Klausur wurde das Wechselverhalten zwischen drei Stromtarifen betrachtet mit folgender Übergangsmatrix:

P=\begin{pmatrix}0,84&0,02&0,01\\0,14&0,71&0,13\\0,02&0,27&0,86\end{pmatrix}

Eine Frage lautete:

„Für den Anteil aller Kunden, die von einem Monat zum nächsten den Tarif wechseln, gibt es im Modell einen kleinsten und einen größten möglichen Wert. Geben Sie diese beiden Werte an und begründen Sie Ihre Angabe.“

Lies die Frage genau. Es geht darum, im welchen Fällen die meisten Menschen bei ihrem Tarif bleiben und in welchen die wenigsten. Dafür ist die Diagonale von links oben nach rechts unten zuständig: x · 0,84 + y · 0,71 + z · 0,86 ist der prozentuale Anteil der Personen, die nicht wechseln.

Die Extreme im Wechselverhalten ergeben sich als das Setzen von Nullen und Einsen im Verteilungsvektor. Wenn alle Personen im dritten Tarif sind, werden 86% dabei bleiben und 14% in die beiden anderen Tarife wechseln. Eine geringere Anzahl von Wechseln ist nicht erreichbar.

Wenn alle Personen im ersten Tarif sind, bleiben 84% dabei und 16% wechseln.

Wenn alle Personen im zweiten Tarif sind, bleiben nur 71% in ihrer Kategorie und 29% wechseln in die anderen Tarife.

Die Antwort lautet also: Der größte Wert ist 0,29, der kleinste ist 0,14.

Die Beurteilung eines Modells hat nur begrenzt mit Mathematik zu tun. Meist geht es darum, dass wir davon ausgehen können, dass die Umweltbedingungen einer Tierpopulation nicht unendlich lange exakt gleich bleiben. Deswegen beschreibt die Übergangsmatrix die Veränderungen nur für einen endlichen Zeitraum.

Bezogen auf Marktprozesse kann eine Übergangsmatrix nur eine begrenzte Zahl von Jahren sinnvoll angewendet werden, bevor ein neues Produkt oder sogar eine technologische Weiterentwicklung auf den Markt kommt, ein neues Restaurant eröffnet wird oder ein Wirtschaftssystem sich durch politische Vorgänge stark verändert.

In den Klausuren 2017 bis 2023 war keine Berechnung einer inversen Matrix gefordert.

Dieses Video von MathemaTrick beschreibt das grundsätzliche Verfahren, falls du es trotzdem zur Sicherheit noch einmal wiederholen willst.

Im Zusammenhang mit Austausch- oder Produktionsprozessen bedeutet die inverse Matrix den „Übergang in die Vergangenheit“ oder das Schließen von Rohstoffmengen auf die Mengen der Endprodukte.

Nur quadratische Matrizen können eine inverse Matrix haben. Nicht jede quadratische Matrix ist invertierbar.

Ist eine Matrix quadratisch, aber nicht nicht invertierbar, ist kein Rückschluss auf frühere Populationen möglich. Dieser Zusammenhang war unter anderem in Matrizenklausuren gefragt.

Eine Einheitsmatrix enthält nur Nullen und Einsen. Die Version mit drei Zeilen und drei Spalten sieht so aus:

\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

Einheitsmatrizen sind immer quadratisch und können unterschiedlich groß sein.

Sie kommen heraus, wenn du eine quadratische Matrix mit ihrer inversen Matrix multiplizierst. In einer der Klausuren zu Matrizen war genau dieser Zusammenhang gefragt. Es sollte also erkannt werden, dass

Beispiel: 3,467 · 10^-4

Die -4 gibt die Stelle hinter dem Komma an, an der die 3 stehen muss:

0, _ _ _ 3

Die Stellen links der 3 werden mit Nullen aufgefüllt. Die Stellen rechts davon mit der originalen Zahlenfolge „467“:

3,467 · 10^-4 = 0,0003467

Negative Exponenten sind relevant für Wahrscheinlichkeiten.

Beispiel 9,1058 · 10⁷

Die 7 gibt an, um wie viele Stellen das Komma nach rechts gerückt werden muss:

91058 _ _ _,

Eventuell entstehende leere Stellen werden mit Nullen gefüllt. Steht das Komma dann rechts am Ende, fällt es weg:

9,1058 · 10⁷ = 91058000

Positive Exponenten sind relevant in der Kombinatorik, weil dort regelmäßig sehr große Zahlen heraus kommen. Als Endergebnis kannst du die Taschenrecheranzeige in diesen Fällen abschreiben. Denke aber daran, die Zehnerpotenz mit anzugeben.

Dieser Punkt läuft erfahrungsgemäß intuitiv. Oft sollst du aus einer einleitenden Erklärung mit Hilfe einfacher Bruchrechnung Wahrscheinlichkeiten angeben. Dahinter mehr zu vermuten, nur weil dieser Prüfungsteil unter der Überschrift Stochastik läuft, stresst nur unnötig.

Beispiel: In einer Schulklasse sind 20 Kinder. 8 davon tragen eine Brille. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Kind eine Brille trägt?

8 : 20 =0,4 bzw. 40 %

Tief durchatmen, mehr steckt hinter dieser Frage nicht 🙂

Hier hilft dir der Dreisatz: 360° entsprechen 100 %. Ist dein Winkel gegeben, zum Beispiel φ = 72°, dann gehört zu diesem Feld auf dem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit 72° : 360° · 100 % = 20 %

Es kommt vor, dass der Winkel zunächst nicht gegeben ist, dann lässt du die Wahrscheinlichkeit als p = φ : 360° stehen.

Manchmal wird der Winkel im Bogenmaß betrachtet, dann gilt: 2π entsprechen 100 %.

Hier ist logisches Denken gefragt. In den IQB-Klausuren habe ich keine klassische 3-mal-mindestens-Aufgabe gefunden. Trotzdem ist es sinnvoll, dir das Gegenteil von „mindestens einmal“ zu merken. Das ist nämlich „Null mal“ und kann Rechnungen drastisch vereinfachen oder mitunter überhaupt erst ermöglichen.

Das generelle Konzept der Gegenwahrscheinlichkeit tauchte mehrfach auf. Wenn ein Ereignis sehr kompliziert zu berechnen ist, lohnt es sich oft, das Gegenereignis zu formulieren. Dessen Wahrscheinlichkeit ziehst du dann von 1 ab.

Die Abiturklausur Stochastik ist vom Umfang her eher übersichtlich. Nutze deine Zeit, um Texte zweimal zu lesen und wichtiges farbig zu markieren.

Ereignisse können zum Beispiel mit „sowohl als auch“, „weder… noch…“ und „entweder… oder…“ formuliert werden. Eine Skizze hilft dir, daraus Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen.

Die folgenden Beschreibungen solltest du gut auseinanderhalten:

„mindestens“ -> ≥

„höchstens“ -> ≤

„weniger als“, „unter“ -> <

„mehr als“, „über“ -> >

Für Intervalle, zum Beispiel „mehr als 5 aber höchstens 8“, schreibst du P(5<X ≤8).

Meistens soll das Ereignis zu einem Term passen, der auf der Bernoulli-Formel oder einem Pfad innerhalb eines Baumdiagramms basiert.

Für deine Formulierung entnimmst du Satzbausteine aus der Grundgeschichte und passt n, p und k entsprechend dem gegebenen Term an. Bedenke, dass für k = 0 und k = 1 sich in der Bernoulli-Formel einiges vereinfacht. Ein Beispiel:

{20 \choose 0}\cdot 0,2^0\cdot 0,8^{20}=1\cdot 1\cdot 8^{20}=0,8^{20}\\\quad\\
{20 \choose 1}\cdot 0,2^1\cdot 0,8^{19}=20\cdot 0,2\cdot 8^{19}=4\cdot0,8^{19}

In diesem Fall könnte dir der Term 4 · 0,8¹⁹ + 0,8²⁰ präsentiert werden. Aus dem Sachzusammenhang sollte sich ergeben, dass

n = 20 und p =0,2

Der Term beschreibt P(X=0) und P(X=1). Am Ende lautet das Ereignis also zum Beispiel „Von 20 untersuchten Bildschirmen ist höchstens einer defekt.“

Tief durchatmen, es ist nicht so kompliziert, wie es scheinen mag. Und es lohnt sich, diesen Aufgabentyp zu üben

Beim Zeichnen schreibst du an den entsprechenden Zweig ein p und an den Zweig zum Gegenereignis (1-p). Wenn du die einzelnen Pfade durchmultipliziert und das Ergebnis mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit gleichgesetzt hast, löst du nach p auf.

Dies ist eine Stelle, an der (wie weiter oben angekündigt) eine quadratische Gleichung vorkommt 🙂

Die Aufgaben fragen nicht explizit nach bedingten Wahrscheinlichkeiten, sondern enthalten häufig Relativsätze oder Konditionalsätze:

• „…, dass ein Bildschirm, der defekt ist, im Test durchfällt“
• „…, dass ein Bildschirm im Test durchfällt, wenn er defekt ist.“

Eine ähnliche Logik enthalten Formulierungen der Art:

• „…, dass ein defekter Bildschirm durchfällt.

In allen Fällen wird bei zwei Eigenschaften nach dem Vorkommen der einen Eigenschaft in der Untergruppe gefragt, die auch die andere Eigenschaft trägt.

Im Baumdiagramm stehen die bedingten Wahrscheinlichkeiten an den unteren Zweigen, wie im folgenden Beispiel:

In der Vierfeldertafel kannst du die bedingten Wahrscheinlichkeiten nicht direkt ablesen, sondern musst sie berechnen:

P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}

Es wurde ausdrücklich der Begriff „abhängig“ beziehungsweise „unabhängig“ verwendet. Berechne die relevanten bedingten Wahrscheinlichkeiten und vergleiche, zum Beispiel:

P_A(B) = P(B)

Wenn diese Gleichung stimmt, sind die Eigenschaften A und B unabhängig.

Bei einem Ereignis der Sorte „Bei dreimaligem Würfeln kommt dreimal eine Sechs heraus“ hilft ein Baumdiagramm und das Befolgen der Pfadregeln.

Streng genommen ist eine Verteilung nicht binomial, wenn p nicht konstant bleibt, also zum Beispiel nicht zurückgelegt wird. Bei Umfragen werden Personen nicht zweimal befragt. Bei Qualitätstests werden geöffnete Produkte entsorgt und nicht in den Produktstrom zurück gelegt und dann eventuell ein weiteres Mal getestet.

In diesen Fällen kann eine Verteilung als näherungsweise binomialverteilt betrachtet werden, wenn die betrachtete Stichprobe klein ist bei einer großen Grundgesamtheit.

Trotzdem kann bei Sachzusammenhängen mit Menschen ein entscheidender Faktor sein, dass sie in Kleingruppen antreten. Wenn zum Beispiel die Mutter entscheidet, doch nicht in den Freizeitpark zu gehen, bleiben die Kinder auch zu Hause. Die Wahrscheinlichkeit für ihren Freizeitparkbesuch sinkt damit abhängig von der Mutter auf Null.

Für k wird gerne einer dieser Werte gewählt, weil sich dadurch einiges vereinfacht:

\footnotesize {P(k=1)={n \choose 1}\cdot p^1\cdot (1-p)^{(n-1)}=n\cdot p\cdot(1-p)^{(n-1)}}

Mit zum Beispiel n = 20 und p = 0,2 wird daraus 4 · 0,8¹⁹

\footnotesize {P(k=0)={n \choose 0}\cdot p^0\cdot (1-p)^{n)}=(1-p)^{n}}

Mit zum Beispiel n = 20 und p = 0,2 wird daraus 0,8²⁰

Wichtig ist, dass du aus dem Text den korrekten Term abliest. „Die Wahrscheinlichkeit für über 15 Treffer“ bedeutet zum Beispiel P(X>15)

Ich empfehle, vorher sicherzustellen, dass du zuverlässig weißt, wie du diese Wahrscheinlichkeiten mit dem Taschenrechner berechnest.

Es war häufig zu berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit etwas mindestens, höchstens oder zwischen zwei Werten eintrifft. Eine Angabe der Art „genau 20 mal“ kam allerdings auch immer wieder vor.

In diesem Fall berechnest du µ und gegebenenfalls σ:

\mu=n\cdot p \quad\quad\quad \sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}

Dann addierst du den geforderten Wert einmal zu µ dazu und ziehst ihn einmal ab. Damit hast du deine Werte für das linke und das rechte k und verfährst dann wie im Punkt „P für Ereignisse berechnen“.

Auch wenn es nicht explizit in der Aufgabe steht: Wenn zwei der drei Größen n, p und k gegeben sind und eine bestimmte Wahrscheinlichkeit P gefordert ist, bleibt dir nichts übrig, als im Taschenrechner eine der Größen so lange zu variieren, bis sich das gesuchte P ergibt.

Zur nachvollziehbaren Dokumentation schreibst du am besten eine Tabelle mit den verschiedenen Ergebnissen, die du auf dem Weg zur Lösung bekommen hast.

In den alten Stochastik-Klausuren aus Schleswig-Holstein kam dieser Aufgabentyp häufig vor. Zwischen 2017 und 2023 war in den IQB-Klausuren nur einmal nach einer Mindestzahl an Versuchen n gefragt. Weil die Trefferzahl mindestens 3 sein sollte, war der Lösungsweg das Ausprobieren.

Weil die klassische „Dreimal mindestens“-Aufgabe mit P(X≥1) so „elegant“ ist , gehe ich davon aus, dass sie in Zukunft auch in den länderübergreifenden Abiturklausuren eine Rolle spielen wird.

Bis ich selbst eine Erklärung geschrieben habe, verweise ich für den immer gleichen Lösungsweg auf dieses Video.

Zwei Bernoulliexperimente können ineinander verschachtelt sein. Ein Beispiel:

Eine Kiste mit 12 Saftflaschen wird akzeptiert, wenn mindestens 10 Flaschen das vorgegebene Volumen Saft enthalten. Die Firma befüllt erfahrungsgemäß 2 % der Flaschen nicht ordentlich. Ein Unternehmen kauft 100 Kisten.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 100 von 100 Kisten in Ordnung sind?

1. Zufallsgröße Y: Anzahl der ordentlich befüllten Flaschen in einer Kiste
   n_Y = 12 k_Y = 10
   p_Y = P(„Flasche ist ordentlich befüllt“)= 1 – 0,02 = 0,98
   
2. Zufallsgröße Z: Anzahl der akzeptierten Kisten
   n_Z = 100 k_z = 100
   p_z = P(„Kiste wird akzeptiert“)

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kiste akzeptiert wird (p_Z) ist P(Y≥10). Es muss also zunächst die eine Teilaufgabe erledigt und dann deren Ergebnis bei der zweiten Teilaufgabe eingesetzt werden.

Mit n_Y = 12 und p_Y = 0,98 ist P(Y≥10) ≈ 0,9985 = p_Z

Mit n_Z = 12 und p_Z = 0,9985 ist P(Z=100) ≈ 0,8606

Grundsätzlich brauchst du für diese Aufgabe keine unbekannte oder komplizierte Rechenmethode. Du musst nur logisch denkend vorgehen, deine Variablen sauber definieren und dann in Ruhe deine Rechenschritte abarbeiten.

Der Auftrag kann lauten „Begründen Sie, warum dieses Diagramm nicht die beschriebene Binomialverteilung darstellen kann“.

Für eine Antwort berechnest du µ, den Wert für P(X=µ) und siehst dir auch die Symmetrie des Balkendiagramms an. Bei einem p von 0,5 sind die Balken symmetrisch mit µ in der Mitte. Bei größeren Werten für p ist der Verlauf nach rechts „gekippt“, bei kleineren entsprechend nach links.

Für die Gleichung und das Diagramm sollten die Werte übereinstimmen, damit du sie einander zuordnen kannst.

Was außerdem manchmal abweicht, ist das n. Wenn zum Beispiel in der Binomialverteilung ein Wert von 20 vorgesehen ist, im Diagramm aber bei X = 25 noch ein positiver Balken erscheint, passt das nicht zusammen.

Dahinter steckt wirklich nicht mehr, als dass du diese Gleichung in einen Satz umschreibst. In diesem Fall also:

„Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 20mal getroffen wird, liegt bei 20 %“

\mu=n\cdot p \quad\quad\quad \sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}

Wenn σ größer als 3 ist, ist die Verwendung der Normalverteilung zulässig.

In manchen Aufgabe fällt der Begriff „Dichtefunktion“. Dies ist die Funktion, die einem Wert einer Zufallsgröße eine Wahrscheinlichkeit zuordnet. Im Zusammenhang mit der Normalverteilung kennst du sie als Glockenkurve.

Je nach Taschenrechner hast du unterschiedliche Eingabemethoden, um aus µ, σ und X die gesuchte Wahrscheinlichkeit P zu berechnen.

Es kommt auch vor, dass P vorgegeben ist. Dann sind von den anderen drei Größen auch jeweils zwei gegeben und du musst die letzte Größe im Taschenrechner so lange variieren, bis das gewünschte P herauskommt.

Die Funktion hat diese Form:

\Large{\Phi(x)=\frac{1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot ( \frac{x-\mu}{\sigma})^2}}

In einer gegebenen Funktion musst du nur die Zahlen identifizieren, die an den Positionen für σ und µ stehen. Die gute Nachricht ist: Du musst diese Formel nicht auswendig wissen, denn sie steht in der IQB-Formelsammlung.

Das µ gibt die x-Koordinate des Maximums an, oder mit anderen Worten den Erwartungswert. Die Standardabweichung σ ist ein Maß dafür, wie hoch und breit die Glockenkurve ist.

Wird µ größer, rückt die Kurve nach rechts.

Wird σ größer, wird die Kurve breiter und flacher.

Den Effekt kannst du auf dieser Geogebra-Unterseite mit Schieberegler zur Glockenkurve ausprobieren.

Die Fläche zwischen der Glockenkurve und der x-Achse entspricht der Wahrscheinlichkeit, die zu dem jeweiligen Intervall gehört.

Die komplette Fläche ist 1, was einer Wahrscheinlichkeit von 100% entspricht. Irgendetwas muss einfach passieren 🙂

In manchen Aufgaben ist ein Diagramm gegeben, in dem du die zu einer Geschichte passende Fläche einfärben und abschätzen sollst.

Bei Binomialverteilungen ist die Zufallsgröße meistrens etwas, was gezählt wird. Andererseits war in manchen Aufgaben zu einer Normalverteilung auf der x-Achse die Zeit eingetragen.

Mein Tipp: Lass dich davon nicht verunsichern. Du kannst trotzdem µ, σ und X normal verwenden. Dann ist einfach µ die Zeit, zu der am wahrscheinlichsten etwas passiert.

Aufgaben zu σ-Umgebungen waren in den betrachteten Klausuren nicht vertreten. Bis ich selbst eine Erklärung geschrieben habe, kannst du dich mit diesem Video vorbereiten.

Die Tabelle mit benötigten Faktoren für verschiedene Umgebungen steht in der IQB-Formelsammlung. Daher ist es nicht ausgeschlossen, dass eine Frage aus diesem Bereich in Zukunft drankommt.

In 50 % der Klausuren war ein Hypothesentest verlangt, die meisten darunter rechtsseitig, der Rest linksseitig. Die Nullhypothese H₀ war jeweils gegeben. Sollte sie einmal nicht gegeben sein, ist meistens dein Standpunkt (beziehungsweise der Standpunkt der Person, die den Test durchführt) die H₁.

An der H₁ liest du ab, auf welcher Seite du testest.

H_1: p<0,5

H_1: p\neq 0,5

H_1: p>0,5

H_1: p=0,4\\ H_2: p=0,6

In mehreren Fällen sollte erläutert werden, aus welcher Motivation heraus die Nullhypothese gewählt wurde. Die Antwort ergibt sich daraus, dass ein Betrieb verschiedene Risiken hat, je nachdem welche Hypothese verworfen wird.

Zum Beispiel führen Lieferungen mit zu vielen fehlerhaften Teilen zu verärgerten Kund*innen und Reklamationskosten. Auf der anderen Seite führen übermäßig gründliche Qualitätstests zu höheren Betriebskosten. Hier muss die Firma eine Priorität festlegen, an welche Stelle sie sparen will, beziehungsweise welchen Schaden sie vermeiden will.

Mit deinem Taschenrechner erzeugst du eine Tabelle, aus der sich das letzte k ergibt, das noch im Ablehnungsbereich der H₀ ist. Je nachdem, ob du links oder rechts testest, ist das das kleinste oder das größte k.

Auf dieser Basis formulierst du deine Entscheidungsregel:

„Die Nullhypothese wird verworfen, wenn unter [n] [was auch immer gezählt wird] höchstens/mindestens [k] [Beschreibung des jeweiligen Treffers] sind“.

Für einen beidseitigen Test musst du den rechten und den linken Ablehnungsbereich beschreiben.

Ein Fehler zweiter Art (auch als β-Fehler bezeichnet) bedeutet, dass wir H₀ nicht verwerfen, obwohl H₁ gilt. Diesen Fehler kannst du nur berechnen, wenn eine alternative Wahrscheinlichkeit p₁ gegeben ist.

Zur Veranschaulichung empfehle ich diese Geogebra-Unterseite. Die Definition des Fehlers zweiter Art steht außerdem auch in der Formelsammlung.

Mit Hilfe des Erwartungswertes kann für einen Betrieb berechnet werden, von welchen Kosten bei einer vorgegebenen Entscheidung ausgegangen werden muss. Auf dieser Basis sollst du dann erläutern, welche Entscheidung du an Stelle der Verantwortlichen in einer vorgegebenen Frage treffen würdest.

Ist der Fehler zweiter Art bekannt, kann durch Ausprobieren mit dem Taschenrechner die alternative Trefferwahrscheinlichkeit ermittelt werden. Dabei wird die Anzahl von Nachkommastellen vorgegeben.

Häufig stehen die relevanten Formeln im Aufgabentext und du musst nur noch p und n einsetzen. Das ist eine Gelegenheit, bei der es sich auszahlt, Ruhe zu bewahren und für ein einfaches Eintippen in den Taschenrechner eventuell entscheidende Klausurpunkte mitzunehmen.

Bei anderen Aufgabenstellungen mussten die Werte für die relative Häufigkeit h_min und h_max, beziehungsweise für p_min und p_max aus einem Diagramm abgelesen werden.

Bei dieser Art Aufgabe wird im Allgemeinen danach gefragt, ob ein Testergebnis mit einem Konfidenzintervall „verträglich“ ist oder „damit im Einklang“ steht.

Mit den bekannten Werten berechnest du das Konfidenz- beziehungsweise Prognoseintervall und überprüfst, ob das Testergebnis darin liegt.

Je größer die Stichprobe, umso schmaler werden Konfidenz- und Prognoseintervall. In einer Klausur war die Frage, warum das so ist, und in welchem Umfang.

Die Antwort liegt in der Formel. Die Wurzel aus der Stichprobengröße steht im Nenner, deswegen bewirkt ein vervierfachtes n eine Halbierung der Intervallbreite.

Wenn h und p gegeben sind, findest du mit Hilfe der Formeln durch Ausprobieren das dazu passende n heraus.

E(X) ergibt sich, wenn du alle Werte, die die Zufallsgröße X annehmen kann mit der jeweils dazu gehörenden Wahrscheinlichkeit multiplizierst und dann alle Ergebnisse zusammen addierst.

Ich empfehle, falls nicht schon gegeben, eine Tabelle aufzustellen und die einzelnen Summanden dann unter die jeweiligen Spalten zu schreiben:

Wäre dies ein Spiel, wäre der Erwartungswert für den Gewinn

E(X) = 1 € + 1 € – 6,80 € = – 4,80 €

Du kannst also davon ausgehen, bei jedem Spiel durchschnittlich 4,80 € zu verlieren.

Bei einem fairen Spiel ist der Erwartungswert für die Auszahlung gleich dem Wetteinsatz. Der durchschnittliche Gewinn ist also Null.

Wenn der Erwartungswert gegeben und in der Tabelle für ein Spiel ein Gewinnbetrag gesucht ist, schreibst du in der jeweiligen Zelle anstelle einer Zahl die Variable x.

Beispiel: Bei diesem Spiel ist der Erwartungswert gegeben mit:

E(X) =1,50 €

E(X) = 2,50 € + 0,85 · x = 1,50 €

Diese Gleichung löst du dann nach x auf: x = – 1,25 €

Frage dich, ob bei dem Zählverfahren zurückgelegt wird oder nicht, ob die Reihenfolge wichtig ist oder nicht, und eventuell ob alles verteilt wird oder nicht.

n: Aus wie vielen Optionen kann ich für jede Ziehung wählen?

k: Wie oft ziehe ich?

Der größte Teil der Geschichten lässt sich auf folgende Grundmuster zurückführen:

\footnotesize n^k

\footnotesize n!

\footnotesize\frac{n!}{(n-k)!}

\footnotesize{{n+k-1} \choose {k-1}}

\footnotesize {n \choose k}

Stelle sicher, dass du weißt, wie du die Zahlen für das Weihnachtsmannprinzip (offiziell: den Binomialkoeffizienten) in deinen Taschenrechner eingibst.

Wenn du schon eine Anzahl von Möglichkeiten berechnen sollst, schließt sich oft die Frage nach einer Wahrscheinlichkeit an. Dafür gilt:

P=\frac {\text {Anzahl der günstigen Möglichkeiten}}{\text{Anzahl aller Möglichkeiten}}

Beide Anzahlen berechnest du mit einem Ansatz aus der Kombinatorik. Oft helfen Skizzen erheblich weiter.