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Abiturklausur Analysis: Photo von einem Laptop auf einem Holztisch, im Hintergrund ein Regal mit Lernmaterialien. Auf dem Bildschirm ist die Webseite Geogebra geföffnet

Abiturklausur Analysis

Was gehört dazu? Welche Aufgaben kommen oft dran?

Bereitest du dich auf die Abiturklausur Analysis vor? Ich habe die IQB-Aufgaben für dich gesichtet und erzähle dir, was darin vorkam.

Meine Nachhilfeschüler:innen bereiten sich aktuell unter anderem auf das Abitur in Mathematik vor und vielleicht betrifft das ja auch dich. Um bei dieser Prüfung möglichst stressfrei anzutreten, ist es wichtig zu wissen, worauf du dich einstellen musst.

Dieser Artikel ist zu deiner Information gedacht, aber auch als Abhakliste, was du schon sicher kannst. Und zur Planung, was du noch unbedingt wiederholen solltest. Zum Teil habe ich Details und Tipps angefügt, die du durch Klick auf den jeweiligen Stichpunkt sichtbar machen kannst. Im Laufe der Zeit werde ich diese Hinweise noch weiter ergänzen.

Weil in Schleswig-Holstein die Abiturklausuren auf den IQB-Poolaufgaben basieren werden, fokussiere ich mich mit diesem Artikel auf dieses Material. Bisher habe ich die öffentlich einsehbaren Übungsaufgaben auf erhöhtem Niveau aus den Jahren 2017 bis 2023 auf wiederholende Aufgabentypen gesichtet. Spreadsheets sind neben Häkeln eins meiner liebsten Hobbys 😀

Im März werde ich über die Vektorrechnung, Stochastik und die Aufgaben im hilfsmittelfreien Teil schreiben. Wenn ich damit fertig bin, nehme ich mir das grundlegende Niveau vor, obwohl wenigstens in Schleswig-Holstein für 2024 Abiturklausuren auf grundlegendem Niveau noch dezentral gestellt werden. (Prüfungsregelungen als PDF)

Wichtig: Natürlich können in zukünftigen Klausuren Aufgaben vorkommen, die von meiner Liste nicht abgedeckt sind.

Warum sind Klausuren vergangener Jahre interessant?

Viele Aufgaben im Abi im Fach Mathe wiederholen sich über die Jahre immer wieder. Daneben gibt es immer Knobelaufgaben aus dem Anforderungsbereich III, für die kreativ über dem vorher eingeübten Lernstoff hinaus gedacht werden muss. Wenn du die häufig vorkommenden Inhalte im Blick hast und bei deiner Vorbereitung gut übst, hat das zwei Vorteile:

  1. Du kannst diese Aufgaben schneller und zuverlässiger erledigen und hast dann mehr Zeit für die kniffeligeren Fragen.
  2. Du bist von vornherein entspannter. Das steigert deine Erfolgsaussichten ähnlich nachhaltig wie ein solides Faktenwissen.

Was ist mit Analysis gemeint?

Die Analysis ist in den Abiturklausuren der Themenbereich mit der größten Variation. Und trotzdem gibt es Schwerpunkte, die für dich in deiner Vorbereitung besonders wichtig sind.

Die in der Oberstufe behandelte Analysis dreht sich hauptsächlich um Funktionen. Diese kannst du in meistens zweidimensionalen Koordinatensystemen einzeichnen, Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte, Asymptoten oder Definitionslücken berechnen. Es geht um Symmetrien und Grenzwerte und häufig um die Interpretation deiner Rechenergebnisse im Zusammenhang mit einer mehr oder weniger interessanten Geschichte.

Abiturklausur Analysis: Graph einer rationalen Funktion

Wie war der allgemeine Klausuraufbau?

Zwischen 2017 und 2023 enthielten die Analysisklausuren der QB-Poolaufgaben in fast 80% der Fälle Sachaufgaben. Gerade weil dieser Aufgabentyp so unpopulär ist, rate ich dir dazu, damit zu rechnen und dich darauf vorzubereiten, mental wie fachlich.

In der Hälfte der Klausuren gab es im Arbeitsblatt voneinander unabhängige Aufgabenstellungen. Die bisherigen zentralen Abiturklausuren in Schleswig-Holstein haben in den meisten Fällen eine zusammenhängende Geschichte erzählt. Bei den IQB-Aufgaben musst du damit rechnen, dass sich die zweite oder dritte Aufgabe ausdrücklich nicht mehr auf Inhalte der ersten Aufgabe bezieht. Ohne das im Hinterkopf zu haben, könnte bei der Bearbeitung an solch einer Stelle Verwirrung einsetzen.

Ebenfalls gab es bei 50% der Klausuren „nackte Funktionen“ ohne eine Geschichte dahinter. Ob die Fragen dazu wirklich leichter zu beantworten sind, hängt aus meiner Sicht davon ab, wie du dich auf die Details vorbereitest, die ich weiter unten in diesem Artikel beschreibe.

Von den Funktionstypen sind rationale Funktionen und e-Funktionen deutlich am häufigsten vertreten, gerne auch in Kombination. Also beispielsweise Funktionen der folgenden Arten:

  • f(x) = 4x³ + 2x² – 5
  • f(x) = 150 · e – 2
  • f(x) = (x-1)² · ex+5

Andere Funktionstypen, die seltener vorkamen, sind:

  • Sinus und Cosinus
  • Wurzeln
  • Logarithmus

Für eine solide Vorbereitung auf dein Matheabi solltest du diese Funktionstypen wiederholen. Und zwar ihre Ableitungen, ihr Aussehen im Koordinatensystem und Besonderheiten in ihren Definitions- und Wertemengen.

Ich habe darüber hinaus nach meiner Sichtung die Aufgaben in vier Kategorien aufgeteilt:

  • Wissen aus der Mittelstufe
  • Grundbausteine der Analysis
  • Kurvenscharen
  • Fragestellungen aus höheren Anforderungsbereichen

Welches Mittelstufenwissen war gefragt?

Dieser Punkt ist mir generell im meinem Unterricht wichtig: In der Mittelstufe lernt ihr eine Reihe von Fakten und Methoden, die ihr in der Oberstufe braucht. Es wird nicht explizit darauf hingewiesen, sondern stillschweigend erwartet, dass ihr das selbst erkennt.

Besonders häufig war die Anwendung des Satzes von Pythagoras gefordert. Und zwar meistens bei der Ermittlung von Abständen zwischen Punkten im Koordinatensystem. In der Aufgabe wurde nur nach dem Abstand gefragt, das rechtwinklige Dreieck musst du dir jeweils selbst dazu denken. Wenn du dich darauf einstellst, kannst du eventuell entscheidende Klausurpunkte mitnehmen, die über dein Bestehen oder das Erreichen deiner Wunschnote entscheiden können.

Ein zweiter häufig auftretender Punkt ist die Prozentrechnung. Zusammen mit der Bruchrechnung taucht sie häufig in meinem Unterricht als Schwachstelle auf. Genau genommen hängen Wahrscheinlichkeiten, Prozentangaben und Bruchteile sehr eng zusammen.

Leider wird häufig die Bruchrechnung nicht gründlich genug erarbeitet und von vielen Schüler*innen als unangenehm empfunden und möglichst schnell aus dem Gedächtnis wieder gestrichen. Und dann taucht sie in der Abiturklausur Analysis unerwartet und ein bisschen im Sachkontext verkleidet wieder auf und kostet eventuell wichtige Punkte. Mein Tipp ist daher: Schließe deine Gedächtnislücken, was Brüche angeht.

Die restlichen Punkte waren bunt gemischt und tauchten nur in wenigen Jahrgängen tatsächlich auf. Trotzdem ist es immer eine gute Idee, sie auf dem Schirm zu haben, weil sich damit mancher Sachzusammenhang erst interpretieren lässt:

  • Binomische Formeln erkennen und umstellen
  • Klammern ausmultiplizieren
  • Terme und Gleichungen umstellen
  • Die Nummern der Quadranten im Koordinatensystem
  • Flächen wie Dreiecke oder Trapeze
  • Aus einem Winkel einen Kreisbogen berechnen
  • Einheiten umrechnen, zum Beispiel cm³ und L
  • Das Konzept der linearen Funktion, beziehungsweise Geradengleichungen.
  • Steigungsdreiecke zeichnen und berechnen
  • Dreisatz

Ein ordentlicher Teil dieses Basiswissens ist in der Formelsammlung zu finden, die dir zur schriftlichen Abiturprüfung ausgehändigt wird. (PDF-Datei)

Welche Analysis-Grundbausteine waren gefragt?

Es sollte nicht überraschen, dass in einer Abiturklausur Analysis die Grundbausteine besonders häufig abgefragt werden. Damit meine ich alles das, was du im Mathematikunterricht in der Oberstufe routinemäßig gelernt und geübt hast: Die klassische Kurvendiskussion.

Die alten Klausuren aus Schleswig-Holstein folgten sogar oft dem „Drehbuch“ der Kurvendiskussion. Das war der ursprüngliche Grund dafür, dass ich alle früheren Abiturklausuren noch einmal vergleichen wollte. Die IQB-Klausuren sind allerdings deutlich gemischter in der Abfolge der Fragestellungen.

Und trotzdem erwarten dich fast immer Berechnungen folgender Dinge:

  • Funktionswerte, also f(x) bei einem gegebenen x
  • besondere Stellen, also x bei einem gegebenen f(x)
  • Nullstellen
  • Extrempunkte
  • Wende- und Sattelpunkte
  • Integrale

Die Aufträge dazu sind oft aus dem Sachzusammenhang heraus indirekt formuliert. Nullstellen können sich dahinter verstecken, dass „das Fahrzeug zum Stehen kommt“, also die Geschwindigkeit Null ist. Extrempunkte sind meist relativ leicht zu erkennen, wenn zum Beispiel nach dem „höchsten Punkt der Brücke“. Wendepunkte werden häufig mit einer Formulierung der Art „Wo befindet sich die steilste Stelle?“ angefordert. Bei Integralen muss dir die Bedeutung im Sachzusammenhang als eine Fläche geläufig sein.

Ableitungsregeln finden sich in der Formelsammlung, es lohnt sich, diese dort vorher in Ruhe einmal anzusehen, um nicht in der Stresssituation vom verwendeten Format verwirrt zu werden.

Abiturklausur Analysis: Graph einer Funktion mit Exponentialanteil

Mit einer mittleren Häufigkeit wurden folgende speziellere Aspekte abgefragt:

Geraden, die sich rechtwinklig schneiden

Hier ist es wichtig, dass du weißt, dass zwei Geraden zueinander senkrecht sind, wenn für ihre Steigungen m1 und m2 Folgendes gilt:


m1 = -1/m2


Manchmal geht es nicht um lineare Funktionen, dann ergibt sich die Steigung, wenn du den jeweiligen Wert für x in die ersten Ableitungen einsetzt.

Flächen zwischen zwei Funktionen

Dafür musst du die Schnittpunkte ermitteln und diese dann als Grenzen für das Integral über die Differenz zwischen den beiden Funktionen verwenden.

Funktionen zeichnen

Die Basis sind besondere Punkte, die du entweder selbst ausrechnen oder dem Text entnehmen musst. Das Ziel ist nicht eine besonders schöne Zeichnung, sondern ein Beleg dafür, dass du das Konzept hinter Funktionsverläufen verstanden hast.

Symmetrieverhalten

Ob eine Funktion symmetrisch ist, hat Einfluss auf den Arbeitsaufwand von Aufgaben und manchmal auf die Menge an Informationen, die du aus Texten oder Zeichnungen entnehmen musst.

Für die Achsensymmetrie setzt du -x statt x in eine Funktion ein und vereinfachst den Funktionsterm. Am Ende musst du f(-x) = f(x) herausbekommen.

Wenn stattdessen f(-x) = -f(x) herauskommt, ist die Funktion punktsymmetrisch.

Rotationsvolumen

Die Formel dazu findet sich in der IQB-Formelsammlung. Die Funktion wird um die x-Achse herum rotiert. Sollte die y-Achse die Rotationsachse sein, ist das Verfahren etwas komplizierter.

Mittlere Änderungsrate

Es sollten zwei Punkte gegeben sein, zwischen denen du ein Steigungsdreieck einzeichnest und mit dessen Hilfe die durchschnittliche Steigung zwischen den Punkten berechnest.

Die mittlere Änderungsrate ist die durchschnittliche Steigung, es sei denn, auf der y-Achse ist die Änderungsrate (zum Beispiel eine Geschwindigkeit) aufgetragen. In dem Fall musst du den mittleren Funktionswert berechnen.

Steigungswinkel

Wenn du die nötige x-Koordinate hast, kannst du sie in

tan-1(f'(x)) = α

einsetzen. Manchmal ist x die Nullstelle einer Funktion, manchmal der Schnittpunkt mit einer waagerechten Geraden. Diese musst du in dem Fall oft erst noch berechnen. Eine Skizze hilft hier oft 🙂

Tangentengleichungen /Wendetangenten

Diese Aufgabe basiert auf einer linearen Funktion der Form

y = m·x +n

Die Werte für y und x sind im Allgemeinen gegeben, m kannst du dir als f'(x) ausrechnen. Dann muss du nur noch diese drei Werte in die Geradengleichung einsetzen und nach n umstellen.

Für eine Wendetangente brauchst du zunächst den Wendepunkt und nimmst dessen x/y-Koordinaten. Das restliche Vorgehen ist gleich.

Am Ende schreibst du die Geradengleichung noch einmal mit x und y als Variablen und den beiden berechneten Werten für m und n.

Grenzwerte / Asymptoten

Diese kommen meiner Erfahrung nach im normalen Unterricht eher selten ausdrücklich vor. Es hilft sehr, die Verläufe der Graphen der gängigen Funktionstypen im Hinterkopf zu haben. Dann kannst du schon einmal grob vermuten, wie die gefragte Funktion ungefähr aussieht.

Bei Grenzwerten gegen ∞ kannst du große Zahlen in deinen Taschenrechner einsetzen und das Ergebnis als Näherung nehmen.

Aufgepasst: Beim wissenschaftlichen Format bedeutet zum Beispiel 1,42 · 10-20 eine sehr kleine Zahl, also ist der Grenzwert Null. 1,42 · 10+20 ist eine sehr große Zahl, der Grenzwert ist dann ∞.

Wenn eine Funktion gegen einen konstanten Wert geht, kann eine Asymptote gefragt sein, die du als horizontale Gerade in das Koordinatensystem einzeichnen kannst.

Zusammenhang zwischen dem Grad einer rationalen Funktion und der Zahl ihrer Nullstellen beziehungsweise Extrema

Der Grad einer rationalen Funktion gibt die maximal mögliche Anzahl ihrer Nullstellen an. Die Anzahl der maximal möglichen Extrempunkte ist um 1 geringer als der Grad.

Punktproben

Wenn du herausfinden sollst, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt, setzt du die entsprechende x-Koordinate in f(x) ein. Kommt dabei die y-Koordinate heraus, liegt der Punkt auf der Kurve.

Nullstelle eines Produktes aus einer rationalen Funktion und einer e-Funktion

Hier ist der Satz vom Nullprodukt wichtig. Wenn zwei Faktoren miteinander multipliziert Null ergeben, muss einer von beiden auch Null sein. Allerdings kann ex nicht Null werden. Daher kannst du immer argumentieren, dass der e-Funktions ≠ 0 ist und damit der andere Teil des Produktes Null sein muss.

Volumen, eventuell auch Masse eines Prismas

Meistens geht es um das Volumen einer Halle, eines Werkstücks oder eines Kanals. Die Querschnittsfläche ermittelst du mit einem Integral und multiplizierst sie dann mit der Länge, die senkrecht zur Papierebene des xy-Koordinatensystems liegt. Die Masse rechnest du dann per Dreisatz aus.

Ursprungsbestand berechnen

Unter anderem könnte nach dem ursprünglichen Füllstand eines Wasserbeckens gefragt sein. Als Grundlage ist dann die Zuflussgeschwindigkeit im Zusammenhang mit der Zeit gegeben und ein bekanntes Volumen V zu einem gegebenen Zeitpunkt t.

Du stellst die Stammfunktion mit dem unbekannten Summanden C auf. Wenn du dort die gegebene Zeit t einsetzt und dem Term mit dem gegebenen Volumen gleichsetzt, kannst du das C berechnen und damit die Bestandsfunktion. Dort musst du dann nur noch die Zeit t = 0 einsetzen. Oder eine andere Zeit, nach der in der Aufgabe gefragt wurde.

Mittelwert der Funktionswerte

Hier berechnest du das Integral von der linken Grenze a bis zur rechten Grenze b, und teilst das Ergebnis durch (b-a).

Zeigen Sie, dass F eine Stammfunktion ist.

Diese Aufgabe ist nicht schwierig, wenn dir klar ist, dass du nicht eine Stammfunktion zu f herleiten, sondern F ableiten und mit f vergleichen sollst.

Der Ablauf des Verfahrens ist reine Anwendung von Ableitungsregeln, die Schwierigkeit liegt nur in der Formulierung der Aufgabe 😉

Schnittpunkte von Funktionen

In der Analysis findest du Schnittpunkte immer, indem du die beiden Funktionen gleichsetzt und dann nach x auflöst.

In selteneren Fällen bestand eine Aufgabe darin, aus einem Diagramm einen Funktionswert, eine x-Koordinate, eine Fläche oder eine Steigung graphisch zu ermitteln. Alternativ mussten Punkte oder Flächen im Koordinatensystem eingetragen, Skizzen angefertigt oder Tangenten eingezeichnet werden. Ähnlich selten war nach der Definitions- oder der Wertemenge gefragt.

Welche Kurvenscharaufgaben kamen vor?

Die Kurvenscharen kamen meistens aus dem Bereich der rationalen und der e-Funktionen. Es gab auch vereinzelt Fälle mit Sinus- oder Cosinusfunktionen.

Die folgenden Aufgaben sind in der Reihenfolge abnehmender Häufigkeit gelistet:

  • Parameter für bestimmte Bedingungen bestimmen
  • Extrempunkte
  • Nullstellen
  • Schnittpunkte der Schar mit anderer Funktion
  • Graphen speziellen Vertretern der Schar zuordnen
  • Ortskurven
  • gemeinsame Punkte aller Vertreter der Schar
  • Für f(x) = f(x+c) das c oder das f(x) bestimmen
  • Wendetangenten / Wendepunkte
  • Integrale
  • Monotonieverhalten
  • Grenzwerte abhängig vom Parameter

Welche Aufgaben aus höheren Anforderungsbereichen kamen vor?

Ich habe zwei Kategorien festgelegt, die über das eher mechanische Anwenden der Kurvendiskussion hinaus gehen. Eine davon beruht auf der Bedeutung hinter den Rechenmethoden und dem Verständnis der unterschiedlichen Funktionstypen. Die entsprechenden Aufgaben habe ich folgendermaßen gegliedert:

  • Bedeutung von Nullstellen / Extrempunkten / Wendepunkten / Sattelpunkten für die jeweils darüber- und darunter liegenden Funktionen in der Reihe F, f, f‘ und f“
  • geometrische Interpretation von Funktionswerten, Winkeln und Flächen
  • Argumentation der Verläufe von Graphen im Sachzusammenhang, F, f, f‘ und f“ unterschiedlichen Graphen zuordnen
  • Periode, Amplitude, Nullstellen und Ableitungen von Sinus und Cosinus
  • Monotonieverhalten bestimmen und im Sachzusammenhang interpretieren
  • Vorzeichenverhalten einer Funktion oder der Differenz zweier Funktionen interpretieren
  • Parameter einer e-Funktion interpretieren, Halbwertszeit
  • Umkehrfunktionen verstehen, berechnen, zeichnen, im Sachzusammenhang interpretieren
  • Aufgaben, bei denen im Abstand c Funktionswerte verglichen werden, f(x)= f(x+c) oder af(x) oder f(x)+d, gesucht entweder c oder f(x)
  • Beurteilung von Aussagen auf Wahrheitsgehalt
  • Beurteilung eines Modells auf Abweichung von der Realität
  • Interpretation einer Summenformel im Sachzusammenhang
  • Rotation um die y-Achse
  • Verständnis für Funktionen, bei denen die y-Achse für eine Änderungsrate steht
  • Zusammenhang Strecke – Geschwindigkeit – Beschleunigung
Abiturklausur Analysis: Graph einer Sinusfunktion

Eine weitere Kategorie dreht sich rund um das Thema Transformation von Funktionen. Also Streckungen, Stauchungen, Spiegelungen und Verschiebungen. Folgende Aufgaben aus dieser Gruppe habe ich gefunden:

  • Allgemeine Transformationen erkennen oder entsprechende Terme angeben
  • Koordinatenachsen (neu) einfügen und (neu) skalieren
  • Bedeutung der Reihenfolge von Transformationsschritten

Was kann ich noch für eine entspannte Abiturklausur Analysis tun?

Jetzt hast du einen Überblick, was dich in der Abiturklausur Analysis erwartet. Eine gute fachliche Vorbereitung ist schon die halbe Miete, auch für eine möglichst große innere Entspannung. Was kannst du zusätzlich während und in der Zeit vor der Prüfung tun?

Einer meiner am häufigsten wiederholten Tipps ist: „Mach dir eine Skizze!“ Weil ich davon so überzeugt bin, habe ich dazu einen eigenen Blogartikel geschrieben. Ich bin überzeugt davon, dass es das Gehirn entspannt, wenn wir zunächst die Informationen aus einer Aufgabe grob auf Papier visualisieren. Und viele Dinge, die im Text unverständlich klingen, werden mit Hilfe einer bildlichen Darstellung oft viel offensichtlicher.

Außerdem kannst du dir eine für dich passende Entspannungstechnik aneignen. Dazu gibt es online Anleitungen für Meditationen, Atemtechniken, Affirmationen und ähnliche Methoden. Ich selbst habe eine geführte Meditation zur Stärkung der inneren Sicherheit vor Prüfungen geschrieben.

Fragen und Feedback

Diese Artikelreihe liegt mir besonders am Herzen. Und zwar, weil ich aus nächster Nähe sehe, wo die Schwierigkeiten liegen: Darin, die Aufgabenformulierungen überhaupt erst einmal zu verstehen und im generellen Druck, den die ungewisse Prüfungssituation erzeugt. Ich möchte deswegen dazu beitragen, dass möglichst viele Menschen vor ihrer Abiturklausur hilfreiche Informationen erhalten.

Wenn du Fragen zur Abiturklausur Analysis hast oder zu meinem Artikel etwas anmerken möchtest, freue ich mich sehr über Rückmeldung. Gerne auch aus anderen Bundesländern 🙂

Und wenn du jemanden in deinem Umfeld hast, der oder die 2024 Matheabi schreiben wird, freue ich mich, wenn du diesen Artikel mit dieser Person teilst.

Alle Blogartikel zur Mathematik findest du hier.


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