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In diesem Teil der Prüfung kannst du zum Lösen linearer Gleichungssysteme deinen Taschenrechner verwenden. Dafür solltest du vorher die Tastenfolgen einüben.

Damit dein Taschenrechner die Daten annehmen und korrekt verarbeiten kann, sind folgende Schritte wichtig:

Du musst die Gleichungen soweit „aufräumen“, dass alle Variablen auf der linken Seite und die Zahlen ohne Variablen rechts vom Gleichheitszeichen stehen.

Wenn es um Parameter r, s und t (oder andere Buchstaben 😉 ) geht, musst du im Blick haben, in welcher Reihenfolge diese in den linearen Gleichungen vorkommen. Denn der Taschenrechner bietet dir nur x, y und z an.

Hast du drei Gleichungen mit drei Variablen, kannst du unterschiedlich viele Lösungen bekommen. Bei einer Geraden und einer Ebene bedeutet zum Beispiel eine Lösung einen Schnittpunkt, keine Lösung, dass die Gerade parallel außerhalb der Ebene liegt und unendlich viele Lösungen, dass die Gerade in der Ebene verläuft.

Der Taschenrechner teilt dir mit, ob es unendlich viele Lösungen oder keine Lösungen gibt. Berechnest du ein Gleichungssystem von Hand, erkennst du unendliche viele Lösungen daran, dass deine Variablen immer wieder „verschwinden“ und Gleichungen der Sorte 5=5 übrig bleiben.

Es gibt keine Lösung, wenn die Variablen immer wieder heraus fallen und am Ende ein unmöglicher Ausdruck stehen bleibt, zum Beispiel 5=3.

Kommen in drei Gleichungen nur zwei Unbekannte vor, gibst du zwei Gleichungen in den Taschenrechner ein. Solltest du dabei zwei konkrete Werte für die jeweiligen Variablen erhalten, musst du diese noch in die dritte Gleichung einsetzen, um zu prüfen, dass sie auch gilt.

Bei Matrizen ergeben sich lineare Gleichungssysteme oft durch das Multiplizieren einer Matrix mit einem Vektor, wobei Elemente der Matrix oder des Vektors unbekannt sind. Im Prinzip kannst du diese Gleichungssysteme auch mit dem Taschenrechner lösen, meistens geht es aber nur um eine einzige Variable. In diesen Fällen ist der Zeitaufwand beim Lösen von Hand geringer als beim Eintippen in den Taschenrechner.

Es wurde relativ oft nach einer prozentualen Abweichung gefragt. Ich empfehle, das als Dreisatz zu sehen. Hier ein Beispiel:

Wenn du dir diese Tabelle und diese Art zu rechnen merkst, musst du nur daran denken, dass du die Größe mit dem ganzen Wert in die erste Zeile schreibst, die abweichende in die dritte und eine 1 in die mittlere Zeile. Dann teilst du auf beiden Seiten durch den oberen Wert (hier: durch 25) und multiplizierst mit dem unteren Wert (hier: mal 8).

Dreisatztabellen sind außerdem auch eine gute Gedankenstütze für den hilfsmittelfreien Teil.

Nicht nur in der Analysis können Zahlenbereiche vorgeschrieben sein. Wenn aus einer unendlich langen Geraden eine Strecke heraus geschnitten wird, zum Beispiel als Kante eines Körpers, dann darf der Geradenparameter nur eine bestimmte Menge an Werten annehmen.

Bei manchen Aufgaben wurde ein Parameter von Anfang an wie nebenbei eingeschränkt.

a \in \R

Wenn sich am Ende der Rechnung dann mehrere Kandidaten für die richtige Antwort ergaben, mussten diejenigen ausgewählt werden, die in der Definitionsmenge waren. In diesem Fall sind nur positive reelle Zahlen zugelassen.

Es lohnt sich also, die Fragestellung noch einmal zu lesen, bevor du den Antwortsatz schreibst.

Die relevanten Zahlenmengen sind in der zugelassenen Formelsammlung aufgelistet. Daher musst du nicht auswendig lernen, wofür das R in der obigen Gleichung steht 😀

Grenzwertbetrachtungen kamen im Bereich der Matrizen vor. Bei einer Matrix mit zwei Parametern sollte einer davon gegen unendlich geführt werden.

So sah das Ganze aus:

\begin{pmatrix}
   \frac{1}{2}\cdot2^{k}\cdot a^{k} & \frac{1}{2}\cdot2^{k}\cdot a^{k} &0 \\\\
   \frac{1}{2}\cdot2^{k}\cdot a^{k} & \frac{1}{2}\cdot2^{k}\cdot a^{k} &0\\\\
   1-2^{k}\cdot a^{k} & 1-2^{k}\cdot a^{k} & 1
\end{pmatrix}

Frage: „Für welche positiven Werte von a nähern sich alle Einträge mit k->∞ einem endlichen Wert?“

Manche Dinge, besonders in der Mathematik, sehen schlimmer aus, als sie sind. Ich empfehle immer, solche komplizierten Ausdrücke in kleine Bausteine aufzuteilen.

\lim\limits_{x \to \infin} \bigg( \frac{1}{2}2^ka^k\bigg)= \lim\limits_{x \to \infin} \bigg( \frac{1}{2}(2a)^k\bigg)

Damit dieser Grenzwert nicht ins Unendliche geht, muss 2a positiv aber kleiner oder gleich 1 sein. Und damit muss a kleiner oder gleich 0,5 sein.

Genauso geht (1-2^ka^k) für ein positives a gegen -∞, wenn 2a größer als 1 ist.

Mein Tipp bei Grenzwerten, wie so oft: Atme durch. Dann stelle dir vor, was passiert, wenn du bei k einen Schieberegler hochziehst. Ein paar grundsätzliche Grenzwerte solltest du dir vor der Abiturklausur ansehen und verstehen. Hier ist eine Playlist von MathemaTrick zum Thema.

In einer der Matrizenklausuren sollte die Abhängigkeit der benötigten Menge eines Rohstoffes von einem Parameter in einer Matrix ermittelt und in ein xy-Koordinatensystem gezeichnet werden.

Sei darauf vorbereitet, dass auch in der Abiturklausur Vektorrechnung Geradengleichungen wie in der Analysis vorkommen können.

lineare Algebra:

g:\overrightarrow{x}= {0 \choose -5}+r\cdot {1 \choose 2}

die gleiche Gerade im Analysis-Format:

f(x)=2x-5

Es kam zweimal eine Geschichte vor, in der sich ein Ball auf einer Parabelbahn bewegte. Dafür war der Punkt gegeben, in dem sich der Ball zu einem bestimmten Zeitpunkt t befand:

P(32-8t \vert 5 \vert -5t^2+6,5t+0,3)

Von der x-Koordinate werden für jede Sekunde 8 m abgezogen. Die y- Koordinate bleibt konstant auf 5. Die z-Koordinate (also die Höhe des Balls) hat die Form einer nach unten geöffneten Parabel.

Wie immer: Erstmal durchatmen. Der Arbeitsauftrag könnte lauten, wie hoch der Ball an der höchsten Stelle fliegt. Dafür musst du das Maximum der Parabel ausrechnen.

f(x)=-5t^2+6,5t+0,3\\ \quad \\ f'(x)=-10t+6,5 \\ \quad \\ f'(x)=0 \implies t=0,65\\ \quad \\f(0,65)=2,1425

Der Ball kommt also auf eine Höhe von maximal 2,1425 m

Wenn gefragt ist, wo der Ball den Boden berührt, setzt du die z-Koordinate gleich null und löst die Gleichung nach t auf. Nur eine positive Zeit ist im Sachzusammenhang sinnvoll, weil der Ball ja nicht in die Vergangenheit fliegt. Und dieses t setzt du noch bei der x-Koordinate ein:

−5t 2 + 6,5t + 0,3 = 0 \\ \quad \\ \implies t_1 = 1,34 \medspace \land \medspace t_2 = -0,04 \\ \quad \\

32 - 8 · 1,34 =21,28 \\ \quad \\ \implies P(21,2\vert 5\vert0)

Wichtig beim Lösen dieser Aufgabensorte ist, dass du verstanden hast, wie die drei Koordinaten als Ortsangabe im Raum gemeint sind. Und dass jede davon als eine Funktion formuliert sein kann, die mit den Mitteln der Analysis bearbeitet wird.

Es sollte nicht überraschen, dass in einer Klausur über Geometrie sehr oft rechtwinklige Dreiecke auftauchen. Wenn die Länge einer Strecke gesucht ist, versuche es immer zuerst mit der Suche nach einem rechten Winkel und danach, ob unter zwei Katheten und einer Hypothenuse zwei der Seiten gegeben sind.

Den Kosinus brauchst du, um Hilfe des Skalarproduktes Winkel zu berechnen. Die Formelsammlung enthält im Bereich Vektorrechung kaum Informationen, aber diese Formel steht darin 🙂

Wenn Winkel gegeben sind, kannst du mit dem Sinus oder dem Cosinus Strecken in einer Figur oder einem Körper berechnen.

Außerdem kommen sin und cos immer wieder in Aufgaben vor, in denen Terme interpretiert werden sollen. Eine Skizze hilft dabei sehr, wie fast immer.

Normalenvektor der Ebene an“

oder

„Begründen Sie, warum der Punkt P die gegebenen Koordinaten hat“

In den meisten Fällen geht es darum, dass etwas symmetrisch ist, und zwar an einer Ebene oder eine Achse gespiegelt oder um eine Achse gedreht. Oft ist das auch in der begleitenden Abbildung zu erkennen.

Für diese Art Aufgaben ist es wichtig, dass du Dinge im Kopf drehen und spiegeln kannst. Außerdem musst du verstanden haben, wie Orts- und Richtungsvektoren funktionieren.

Ich habe dazu Aufgaben von sehr unterschiedlicher Schwierigkeit gefunden.

Teils musst du einer Geradengleichung eine Kante eines Körpers oder eine Bewegung eines Objektes zuordnen.

In anderen Fällen war die Rechnung zu einer Art Lotfußpunktverfahren gegeben, mit deren Hilfe die neuen Koordinaten einer Ecke eines Körpers nach einer Drehung im Raum berechnet werden konnten.

Als Ansatz gehe ich immer mental die verschiedenen vektoriellen Rechenverfahren durch und überlege, bei welchem Verfahren ich zu einem ähnlichen Term komme. Das Schneiden von Geraden oder Ebenen und das Lotfußpunktverfahren kommen häufig vor.

Ein Beispiel aus einer Klausur von 2023, die Aufgabe war:

„Erläutern sie die Fragestellung, die zu diesen Gleichungen führte!“

\footnotesize {\begin{pmatrix}   6 \\ -3 \\0 \end{pmatrix} \circ \\ \Bigg[ \begin{pmatrix}   0 \\ 6 \\0 \end{pmatrix} + \lambda\cdot \begin{pmatrix}   6 \\ -3 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}   3 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}\Bigg]=0} \\ \quad \\
\implies \lambda = 0,8 \\ \quad \\ \implies S(4,8\vert3,6\vert0) \\ \quad \\\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OS} +\vert\overrightarrow{CS}\vert\circ\begin{pmatrix}   0 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}

Die erste Zeile hat das Format einer Ebenengleichung in der Normalenform. Der Vektor (6|-3|0) ist der Normalenvektor, (3|0|0) ist der Stützvektor dieser Ebene.

In der eckigen Klammer ist eine Gerade in der Parameterform eingesetzt worden. Der Stützvektor ist (0|6|0) und der Richtungsvektor ist (6|-3|0).

Das bedeutet, hier wurde der Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene ermittelt, die aufeinander senkrecht stehen. Dabei geht die Gerade durch den Punkt (0|6|0).

Nachdem alles ausmultipliziert wurde, ergab sich für λ der Wert 0,8 und damit der Schnittpunkt S. Das ist das klassische Lotfußpunktverfahren, mit dem der Abstand des Punktes (0|6|0) von der verwendeten Geraden ermittelt wird.

Die letzte Vektorgleichung beschreibt den Weg vom Ursprung 0 zum Punkt T. Dazu gehen wir von 0 zu S und dann parallel zur z-Achse senkrecht nach oben. Und zwar so weit, wie es dem Abstand vom Punkt C nach S entspricht.

Ein Blick an den Anfang der Arbeitsblattes sagt uns, dass der Punkt C die Koordinaten (3/0/0) hat. Daraus können wir die folgende Skizze zusammenstellen:

Der Punkt T ist von der Geraden genauso weit entfernt wie der Punkt C. Die Vektoren von C nach S und von T nach S stehen senkrecht aufeinander. Also wurde der Punkt C um einen Winkel von 90° um die Gerade gedreht.

Hinter dem Term steckte also der Auftrag:

„Der mit C bezeichnete Punkt wird nach der Drehung um einen Winkel von 90° um die Gerade mit T bezeichnet. Ermitteln Sie die Koordinaten von T.“

Wichtig für diese Art von Aufgaben ist es, Muster wiederzuerkennen und Vektorgleichungen in Pfeilen als Skizze visualisieren zu können. Deshalb empfehle ich, diese Kompetenzen rechtzeitig zu trainieren.

Wenn zwei Punkte bezüglich einer Achse symmetrisch sind, dann stimmen sie in der entsprechenden Koordinate überein. Die beiden anderen Koordinaten wechseln die Vorzeichen.

Beispiel Symmetrie bezüglich der x-Achse:

A(5\vert2\vert3) \to A'(5\vert-2\vert-3)

Eine Gerade durch A und A‘ schneidet die x-Achse senkrecht und beide Punkte sind gleich weit von der x-Achse entfernt.

In einer Aufgabe waren mehrere Punkte zum Überprüfen gegeben.

Beispiel:

B(2\vert-1\vert8) \qquad C(-2\vert1\vert8)

Diese Punkte sind symmetrisch bezüglich der z-Achse.

Bei dieser Aufgabenstellung liegt die Schwierigkeit darin, sich eine solche Drehung vorzustellen. Eine Skizze wurde ausdrücklich eingefordert, ansonsten müsste ich an dieser Stelle noch einmal darauf hinweisen 😉

Stelle dich darauf ein, dass du die neuen Koordinaten der Ecken eines so gedrehten Körpers ermitteln sollst.

Auch hier ist dreidimensionale Vorstellungskraft gefragt. Wenn zum Beispiel eine Ebene durch einen Quader schneidet, kann die Schnittfigur unterschiedlich viele Ecken haben. Ein paar Beispiele:

Der linke Quader wird so geschnitten, dass ein Dreieck entsteht, beim mittleren ist die Schnittfläche ein Rechteck und beim rechten liegt die Schnittebene auf der Ecke auf, sodass die Schnittmenge nur aus einem Punkt besteht.

In 65% der geometriebasierten Klausuren wurde auf die Koordinatenebenen und -achsen verwiesen. Es ist also wichtig, die dazu gehörigen Gleichungen und Richtungsvektoren im Kopf zu haben.

\footnotesize{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}

\footnotesize{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}

\footnotesize{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}

\footnotesize{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}

\footnotesize{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}

\footnotesize{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}

In den Original-IQB-Klausuren sind die Achsen mit x₁, x₂ und x₃ beschriftet. Je nach Lehrbuch entspricht das x, y und z.

Die x₃ -Koordinate wird besonders häufig als Höhe eines Objektes erfragt.

Wird ein Punkt an einer der Koordinatenebenen gespiegelt, bleiben die entsprechenden zwei Koordinaten gleich, bei der dritten ändert sich das Vorzeichen.

Beispiel Symmetrie bezüglich der xy-Ebene:

A(5\vert2\vert3) \to A'(5\vert2\vert-3)

Eine Gerade durch A und A‘ schneidet die xy-Ebene senkrecht und beide Punkte sind gleich weit von dieser Ebene entfernt.

In einer entsprechenden Aufgabe sind mehrere Punkte gegeben, die du überprüfen sollst.

Beispiel:

B(2\vert-1\vert8) \qquad C(2\vert1\vert8)

Diese Punkte sind symmetrisch bezüglich der xz-Ebene.

Manchmal soll ein Punkt an einer anderen Ebene gespiegelt werden. Dafür brauchst du den Normalenvektor dieser Ebene. Mit den Punkt als Stützvektor und dem Normalenvektor als Richtungsvektor setzt du eine Geradengleichung auf. Der gespiegelte Punkt muss auf der anderen Seite der Ebene gleich weit entfernt sein.

Mehr Details findest du weiter unten im Kapitel über Geraden und Ebenen.

Eine flache Abbildung auf Papier ist für die Darstellung eines Punktes mit drei Koordinaten nicht eindeutig. Trotzdem war in mehr als der Hälfte der geometriebasierten Klausuren gefordert, dass Punktkoordinaten aus einer Abbildung entnommen werden.

Dabei ging es zum Beispiel um einen Quader, bei dem von den vier unteren Ecken drei gegeben waren. Durch diese zusätzlichen Bedingungen ist dann der vierte Eckpunkt festgelegt.

Zu jedem Punkt gibt es einen Ortsvektor. Dieser Ortsvektor gibt die direkte Verbindung vom Koordinatenursprung zum Punkt an. Vektorgleichungen sind im Prinzip eine Wegbeschreibung, wie du auf indirektem Weg zum Punkt P gelangst:

\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP}

In Worten bedeutet diese Gleichung, dass ich am Nullpunkt starte und über die Zwischenstationen A, B und C den Punkt P erreiche.

Hierbei ist besonders wichtig, dass du die Reihenfolge der Koordinatenachsen sicher beherrscht.

Erst nach vorne/hinten, dann nach rechts/links, dann nach oben/unten. Beachte, dass die x₁-Achse kürzere Abstände zwischen den Markierungen hat.

Zu jedem Punkt gibt es einen Ortsvektor. Dieser Ortsvektor gibt die direkte Verbindung vom Koordinatenursprung zum Punkt an. Vektorgleichungen sind im Prinzip eine Wegbeschreibung, wie du auf indirektem Weg zum Punkt P gelangst:

\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP}

Wenn du keine Abbildung hast, um daraus die Koordinaten zu entnehmen, suche dir im Text die Punkte zusammen, die gegeben sind. In der Aufgabenstellung wird dir beschrieben, in welchem Verhältnis der gesuchte Punkt zu den bekannten Punkten steht.

Ist der Punkt zum Beispiel 3 Längeneinheiten über einem anderen, dann addierst du zur z-Koordinate 3.

Immer wieder ist der Mittelpunkt einer Strecke, einer Fläche oder eines Körpers gesucht. Auch hier hilft eine Skizze.

Der gesuchte Ortsvektor vom Ursprung zum Mittelpunkt M (braun) kann ersetzt werden durch die „Umleitung“ über den bekannten Ortsvektor zum Punkt A und die Hälfte des Richtungsvektors von A nach B.

Berechne dazu den Vektor zwischen den beiden Punkten (falls nicht schon gegeben). Der Betrag dieses Vektors entspricht dem Abstand. Dafür quadrierst du alle Koordinaten des Vektors, addierst sie und ziehst aus dem Ergebnis die Wurzel.

\small{A(2\vert4\vert2)\quad B(5\vert4\vert6)\quad \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}}\\\quad\\\vert\overrightarrow{AB}\vert=\sqrt{3²+0²+4²}=5

Du kannst jeden der beiden Punkte für den Ortsvektor verwenden. Ich nehme aus Gewohnheit immer den ersten. Von diesem Punkt aus bildest du den Richtungsvektoren zum zweiten Punkt. Aus diesen Bausteinen setzt du deine Gleichung zusammen:

A(2\vert4\vert2) \quad B(5\vert4\vert6)\\\quad\\
\footnotesize{\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}5-2\\4-4\\6-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}}\\\quad\\\footnotesize{g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+\lambda\cdot\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\4\\2\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}}

Eine vektorielle Geradengleichung in der Parameterform besteht aus einem Ortsvektor, der die Gerade im Raum befestigt, und einem Richtungsvektor, der sie im Raum ausrichtet.

Vor dem Richtungsvektor ist der sogenannte Parameter, der im Falle einer Geraden jeden beliebigen Wert annehmen kann. Am besten stellst du dir den Parameter als Schieberegler vor.

Gerade durch A und B:

g: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+\lambda\cdot\overrightarrow{AB}

Damit du dieses Prinzip selbst ausprobieren kannst, habe ich eine einfache Darstellung einer Geraden auf Geogebra erstellt.

Das war einer der am häufigsten vorkommenden Aufgabentypen. Deswegen ist es besonders wichtig, dieses Verfahren auswendig zu können.

Meistens sind drei Punkte gegeben, in anderen Fällen musst du sie dir selbst überlegen. In allen Fällen war die Koordinatenform verlangt.

Du beginnst mit einer Ebenengleichung in Parameterform:

Du kannst jeden der drei Punkte für den Ortsvektor verwenden, ich nehme aus Gewohnheit immer den ersten. Von diesem Punkt aus bildest du die Richtungsvektoren zu den zwei anderen Punkten und setzt aus diesen drei Bausteinen diese Gleichung zusammen:

E: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+\mu\cdot\overrightarrow{AB}+\lambda\cdot\overrightarrow{AC}

Im nächsten Schritt berechnest du aus den beiden Richtungsvektoren den Normalenvektor, der senkrecht auf deiner Ebene steht:

Dafür verwendest du das Kreuzprodukt. Leider steht in der Formelsammlung nur die Anleitung für das Skalarprodukt, also solltest du das Kreuzprodukt rechtzeitig trainieren.

\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}

Der Punkt A ist weiterhin der Aufpunkt für den Ortsvektor. Damit erhältst du die Normalenform:

E:\big[\overrightarrow{x}-\overrightarrow{OA}\big]\circ\overrightarrow{n}=0

Durch das Ausmultiplizieren der Klammer ergibt sich die Koordinatenform:

E:\overrightarrow{x}\circ\overrightarrow{n}-\overrightarrow{OA}\circ\overrightarrow{n}=0

Beispiel:

\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}-1\\2\\5\end{pmatrix}\quad\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}-3\\4\\-3\end{pmatrix}\\\quad\\
\footnotesize{E:-1x_1+2x_2+5x_3-(-1\cdot3+2\cdot4+5\cdot(-3))=0}\\\quad\\E:-1x_1+2x_2+5x_3+10=0\\\quad\\E:-1x_1+2x_2+5x_3=-10

Die 10 darf als +10 links vom Gleichheitszeichen stehen bleiben. Es ist nur allgemein Tradition, sie am Ende auf die rechte Seite zu schieben, indem von beiden Seiten der Gleichung 10 abgezogen werden.

Die Parameterform einer Ebenengleichung sieht so aus:

E: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+\mu\cdot\overrightarrow{AB}+\lambda\cdot\overrightarrow{AC}

Um damit möglichst frei und kreativ umgehen zu können, solltest du die Bedeutung der einzelnen Bausteine verstanden haben.

X ist ein beliebiger Punkt in der Ebene. Der rechte Teil der Gleichung ist eine Art Reisebeschreibung. Wir starten am Ursprung 0 und gehen zunächst zum Aufpunkt A.

Dann bewegen wir uns in Richtung des Vektors zwischen AB und zwar so weit, wie es der Parameter µ vorschreibt. Ist µ negativ, bewegen wir uns in die entgegengesetzte Richtung des Vektors von B nach A. Als letzten Schritt bewegen wir uns parallel zum Vektor zwischen A und C.

Die Parameter kannst du auch als Schieberegler verstehen. Damit du dieses Prinzip selbst ausprobieren kannst, habe ich eine einfache Darstellung einer Ebene auf Geogebra erstellt.

Oft wird gefragt, ob ein Punkt Teil einer Geraden oder einer Ebene ist. Dafür werden seine Koordinaten eingesetzt oder die Ebene/Gerade in Parameterform dem zum Punkt gehörenden Ortsvektor gleichgesetzt.

Beim Einsetzen in die Koordinatenform musst du nur ausrechnen, ob die Gleichung aufgeht.

Beim Gleichsetzen entsteht ein Gleichungssystem, das für die beteiligten Variablen gelöst werden muss. Gibt es hierbei eine Lösung, dann ist der Punkt in der Geraden oder der Ebene.

Zwei Geraden können sich schneiden oder identisch, echt parallel oder windschief sein. Andere Optionen gibt es im dreidimensionalen Raum nicht.

Im ersten Schritt vergleichst du die Richtungsvektoren. Ob diese parallel sind, ist auf den ersten Blick offensichtlich, wenn du den einen Vektor mit einer Zahl multiplizieren kannst und dadurch den anderen Vektor erhältst.

-2\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-4\\-10\end{pmatrix}

In diesem Fall machst du mit dem Ortsvektor der einen Geraden die Punktprobe mit der anderen Geradengleichung. Ist der Punkt in der anderen Geraden enthalten, sind die beiden Geraden identisch, ansonsten sind sie echt parallel.

Nicht parallele Geraden schneidest du, indem du sie gleichsetzt und das dabei entstehende Gleichungssystem löst. Hat das System keine Lösung, sind die beiden Geraden windschief.

Bei genau einer Lösung gibt es einen Schnittpunkt. Die Parameterwerte aus dieser einen Lösung setzt du in die jeweiligen Geradengleichungen ein, um den Schnittpunkt zu ermitteln.

Grundsätzlich reicht es, nur einen einen Parameter in die passende Gleichung einzusetzen. Wenn du eine Minute Zeit hast, ist es meiner Ansicht nach immer schön, auf beiden Wegen denselben Punkt zu berechnen und damit mehr Sicherheit zu haben 🙂

Zwei Ebenen können sich schneiden, identisch oder echt parallel sein. Andere Optionen gibt es im dreidimensionalen Raum nicht.

Zur Bestimmung der gegenseitigen Lage eignet sich die Normalenform besonders gut: Sind die beiden Normalenvektoren parallel, dann sind es auch die beiden Ebenen.

In allen anderen Fällen ergibt sich eine Schnittgerade. In den Klausuren zwischen 2017 und 2023 war nie gefordert, dass du diese Gerade selbst berechnest, in manchen Fällen war sie allerdings gegeben und sollte kommentiert werden.

Sollte in der Zukunft mal eine Schnittgerade gefordert sein, kannst du dich mit diesem Video von MathemaTrick darauf vorbereiten 🙂

Eine Gerade kann zu einer Ebene parallel sein, diese schneiden oder in der Ebene liegen. Andere Optionen gibt es im dreidimensionalen Raum nicht.

Zur Bestimmung der gegenseitigen Lage hilft es, wenn die Ebene in der Normalenform gegeben ist: Stehen Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zueinander, sind die Ebene und die Gerade parallel.

Wenn du den Aufpunkt der Geraden in die Ebenengleichung einsetzt, findest du heraus, ob er in der Ebene liegt oder nicht. Damit liegt dann auch g in E oder eben nicht.

Liegen sowohl g als auch E in der Parameterform vor, ist es auch möglich, die beiden gleichzusetzen und das entsprechende Gleichungssystem mit drei Variablen zu lösen.

Das ist im Verlgleich zum Bilden des Normalenvektors allerdings mehr Aufwand. Erstens kostet es mehr Zeit und die Optionen, sich durch einen Vorzeichenfehler zu verrechnen, sind beim Kreuzprodukt und beim Gleichungssystem ziemlich gleich.

Ist E in der Koordinatenform gegeben, liest du den Normalenvektor an der Gleichung ab:

E:2x_1-x_3=5\\\quad\\ \overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}

Die Koordinaten für den Normalenvektor stehen vor x₁, x₂ und x₃ inklusive der jeweiligen Vorzeichen.

Kommt eine Koordinate in der Gleichung nicht vor, schreibst du an der Stelle im Normalenvektor eine 0.

Steht vor einer Koordinate in der Ebenengleichung keine Zahl, schreibst du in den Normalenvektor entsprechend eine 1.

Alternativ kannst du auch die vektorielle Geradengleichung in drei Gleichungen auseinander nehmen und in die Koordinatenform der Ebene einsetzen:

E:2x_1+x_2-3x_3=2\\\quad\\
g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix}\\\quad\\x_1=1-2\lambda\\x_2=4+1\lambda\\
x_3=3+4\lambda\\\quad\\\small{E:2\cdot(1-2\lambda)+(4+1\lambda) -3\cdot(3+4\lambda)=2}

Die letzte Gleichung stellst du nach λ um. Wenn es eine Lösung gibt, sind g und E nicht parallel. Das λ setzt du in die Geradengleichung ein und erhältst dadurch den Schnittpunkt.

Regelmäßig ist das Verhältnis gefragt, in dem eine Strecke geschnitten wird. Dafür berechnest du zunächst den Schnittpunkt.

In diesem Beispiel ist S der Schnittpunkt zwischen der Geraden g und der Strecke von A nach B.

Wenn du den Abstand von A zu S und von S zu B ermittelst und den einen Wert durch den anderen teilst, hast du das Verhältnis.

Es kann vorkommen, dass S eine Variable enthält, zum Beispiel, wenn g eine Geradenschar ist. Dann enthält das Verhältnis sehr wahrscheinlich auch diese Variable.

Dieses Verfahren auf dem Schirm zu haben, ist sehr hilfreich, weil es immer wieder bei Fragen nach Abständen verwendet werden muss.

Das Prinzip ist relativ übersichtlich, allerdings sind meine Schüler*innen immer wieder verwirrt, wenn sie dabei nur die Zahlen und Vektoren vor Augen haben.

Wenn wir einen Punkt und eine Ebene betrachten, dann nehmen wir den gegebenen Normalenvektor der Ebene und den Ortsvektor zum Punkt. Aus diesen beiden Komponenten setzen wir eine Gerade zusammen. Diese ist automatisch senkrecht zur Ebene (daher der Begriff Lot) und geht durch P.

Der Schnittpunkt aus dieser Geraden und der Ebene ist der Lotfußpunkt L. Der Betrag des Vektors von P nach L ist der Abstand des Punktes von der Ebene.

Alternativ kann auch die Ebenengleichung in die Hessesche Normalen- beziehungsweise Koordinatenform umgewandelt und die Koordinaten des Punktes P eingesetzt werden. Dieses Verfahren steht allerdings leider nicht in der zugelassenen Formelsammlung.

Wenn wir einen Punkt und eine Gerade betrachten, dann nehmen wir den gegebenen Richtungssvektor der Geraden und den Orzsvektor zum Punkt. Aus diesen beiden Komponenten setzen wir eine Ebene in der Normalenform zusammen. Diese ist automatisch senkrecht zur Geraden (daher der Begriff Lot) und enthält den Punkt P.

Der Schnittpunkt aus dieser Ebene und der Geraden ist der Lotfußpunkt L. Der Betrag des Vektors von P nach L ist der Abstand des Punktes von der Geraden.

In Prinzip kannst du mit diesem Verfahren auch den Abstand zweier windschiefer Geraden berechnen.

Genau wie in der Analysis Funktionsscharen vorkommen, gibt es in der analytischen Geometrie Scharen von Punkten, Geraden und Ebenen. Dazu werden eine oder mehrere Zahlen in den Koordinaten der beteiligten Vektoren durch Variablen ersetzt.

Eine Beispielfrage könnte lauten:

„Für welches k enthält die Ebene E den Punkt P?“

In solchen Fällen behandelst du die Variable zunächst wie eine Zahl und rechnest je nach Situation mutig los. In der Beispielfrage ging es darum, ob der Punkt in der Ebene liegt. Dafür machst du einfach eine Punktprobe, setzt als den Punkt mit der Ebene (in Parameterform) gleich oder setzt ihn (in die Koordinaten- oder Normalenform) ein.

Ganz am Ende deiner Rechnung steht dann die Variable der Lösung gegenüber.

Mein Tipp ist wirklich immer, erst einmal mit dem anzufangen, was du hast und was du kannst. Wenn du die Rechenverfahren verstanden hast und sicher beherrschst, kannst du auch mit Scharen umgehen 🙂

Der erste Schritt sollte immer sein: Mach dir eine Skizze!

Folgende Figuren kamen teils mehrfach vor:

Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleich lange Seiten. Entsprechend musst du zwei Vektoren mit gleichen Beträgen finden.

Für ein rechtwinkliges Dreieck musst du zwei Vektoren finden, die zueinander senkrecht stehen.

Für ein Rechteck musst du zwischen den beteiligten Vektoren mit dem Skalarprodukt rechte Winkel nachweisen. Dass die gegenüberliegenden Vektoren identisch sind, siehst du ihnen an, sobald du sie berechnet hast,

Beim Quadrat ist über das Rechteck hinaus noch zu berechnen, dass alle vier Seiten gleich lang sind.

Für ein Parallelogramm ist nachzuweisen, dass die gegenüberliegenden Seiten identische Vektoren liefern.

Beim Trapez müssen zwei gegenüberliegende Seiten parallel, aber nicht gleich lang sein. Die Längen und Richtungen der anderen beiden Seiten sind irrelevant.

Die relevanten Formeln für Dreiecke, Parallelogramme, Trapeze, Kreise und Drachenvierecke stehen in der Formelsammlung. Du musst nur die Formeln für Rechtecke und Quadrate auswendig wissen 🙂

In den meisten Aufgaben ist die eigentliche Schwierigkeit, dass du die Koordinaten der beteiligten Eckpunkte finden und Abstände berechnen musst.

Beim Dreieck und beim Parallelogramm ist es auch möglich, statt der aus der Mittelstufe bekannten Formeln das Vektorprodukt zu verwenden. Dieser Zusammenhang sollte dir geläufig sein:

A_{Parallelogramm}=\vert\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\vert\\\quad\\A_{Dreieck}=\frac{1}{2}\cdot\vert\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\vert

Du berechnest also das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt) und im Anschluss den Betrag des Ergebnisvektors.

Die Formeln für das Volumen der Spitzkörper Pyramide und Kegel stehen in der Formelsammlung. Dafür musst du die relevanten Eckpunkte und Abstände ermitteln.

Alternativ ist es auch möglich, das Volumen einer Pyramide mit dreieckiger Grundfläche durch das Spatprodukt zu berechnen. Dieser Zusammenhang sollte dir geläufig sein.

V_{Pyramide}=\frac{1}{6}\cdot(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})\circ\overrightarrow{c}

Die Formel für Prismen steht in der Formelsammlung. Sie gilt auch für Quader, falls du vor lauter Stress auf dem Schlauch stehst 🙂

Immer wieder kommen Körper vor, die komplizierter aussehen. Deine Aufgabe ist es, sie in Quader, Prismen und Pyramiden zu zerlegen, die Einzelvolumina zu berechnen und am Ende zusammen zu addieren.

Eine Pyramide mit einer viereckigen Grundfläche schneidest du in zwei Pyramiden mit jeweils dreieckiger Grundfläche. Die beiden kleineren Teile berechnest jeweils du mit dem Spatprodukt.

Das Skalarprodukt zeigt dir, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen, wenn es Null ist.

An dieser Stelle: Die Begriffe „senkrecht“, „orthogonal“ und „rechtwinklig“ bedeuten alle genau dasselbe, und zwar einen Winkel von 90° 😀

Ist das Skalarprodukt nicht Null, kannst du den Winkel zwischen den beiden Vektoren ermitteln. Die Formel dazu (und auch, wie du das Skalarprodukt berechnest) steht in der Formelsammlung.

Du brauchst das Skalarprodukt und die Beträge der beiden beteiligten Vektoren. Den cos^-1 berechnet dein Taschenrechner.

\gamma=cos^{-1}\Bigg(\frac{\overrightarrow{a}\circ\overrightarrow{b}}{\vert\overrightarrow{a}\vert\cdot\vert\overrightarrow{b}\vert}\Bigg)

Oft wurde nach dem „Neigungswinkel einer Ebene zur Horizontalen“ gefragt. Das bedeutet:

In welchem Winkel steht die Ebene zur xy-Ebene, also zur „Bodenplatte“ des Koordinatensystems?

Dafür musst du den Winkel zwischen dem z-Vektor und dem Normalenvektor der betrachteten Ebene berechnen.

Der Schnittwinkel zwischen zwei Geraden ist der Winkel zwischen ihren zwei Richtungsvektoren.

Zwischen einer Geraden und einer Ebene liegt ein Schnittwinkel von 90° abzüglich dem Winkel zwischen dem Richtungswinkel der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene.

Der Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen ist der Winkel zwischen ihren zwei Normalenvektoren.

Sollst du eine Gerade durch einen gegebenen Punkt und senkrecht zu einer Ebene aufstellen, ist der Punkt der Aufpunkt und der Normalenvektor der Ebene der Richtungsvektor der Geraden.

Wenn du eine beliebige Gerade durch einen Punkt und parallel zu einer Ebene nennen sollst, ist der Punkt wieder der Aufpunkt. Für den Richtungsvektor bildest du einen Vektor senkrecht zum Normalenvektor der Ebene. (Siehe nächster Punkt „Senkrechte zu einer Geraden“)

Sollst du ganz allgemein eine Senkrechte zu einer Geraden g angeben, verwendest du ihren Aufpunkt für den Ortsvektor der neuen Geraden. Für den Richtungsvektor wandelst du den Richtungsvektor von g folgendermaßen um:

Setze eine Koordinate auf Null, vertausche die anderen beiden Koordinaten und ändere bei einer der beiden Zahlen das Vorzeichen.

Beispiel:

\scriptsize{\begin{pmatrix}1\\-3\\5\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}0\\5\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\-5\\-3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}5\\0\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-5\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-3\\-1\\0\end{pmatrix}}

Du solltest auf dem Schirm haben, wie du km, m, dm, cm und mm ineinander umrechnest.

Es kam mehrfach vor, dass einer Längeneinheit oder [LE] im Sachzusammenhang eine bestimmte Länge zugeordnet wurde und das bei der Antwort auf eine Frage mitbedacht werden musste.

Unter anderem entsprach einmal 1 [LE] der Länge von 80cm. Fehlte die abschließende Umrechnung in der Antwort, kostete das Punkte.

Der Richtungsvektor einer Geraden kann entlang einer Kante eines Körpers verlaufen. Er ist aber besonders interessant in Aufgaben, in denen er in die Richtung zeigt, in die sich etwas bewegt, oder in die ein Lichtstrahl leuchtet.

Regelmäßig wird in einer Abiturklausur Vektorrechnung verglichen, in welcher Beziehung eine Bewegung zu den Himmelsrichtungen steht. Oder zur sogenannten Horizontalen, die mathematisch gesehen die xy-Ebene ist, auf der der z-Vektor (0|0|1) senkrecht steht.

Vektoren sind Größen, die eine Richtung und einen Betrag, oder anders gesagt eine Länge haben. Diese Länge wird in Sachaufgaben oft verwendet, um die Geschwindigkeit einer Bewegung anzuzeigen.

Du hast vermutlich während deiner Zeit in der Oberstufe Aufgaben gerechnet, in denen Flugzeuge durch die Gegend fliegen. Genau diese Art Sachaufgaben bieten sich für Abituraufgaben an. Daher ist es sinnvoll, wenn du dich vorher darauf einstellst und dir das Konzept dahinter noch einmal verdeutlichst.

Immer wieder ist zu beurteilen, ob ein Gegenstand eine gegebene Fläche berührt. Das kann eine Wand oder Mauer, aber auch ein eingegrenztes Stück auf dem Boden sein.

Um das herauszufinden, schneidest du die Gerade, auf der sich der Körper bewegt, mit der Ebene, in der die Fläche liegt. Dann musst du vergleichen, ob der Schnittpunkt von den Koordinaten her zwischen den Eckpunkten der begrenzten Fläche liegt oder nicht. (Am besten mit Hilfe einer Skizze!)

Es gab auch zwei Klausuren, in deren Geschichten sich ein Ball auf einer Parabelbahn bewegte. Dafür war eine Schar von Punkten gegeben, in der der Parameter t für die Zeit in Sekunden stand.

P(32 − 8t \enspace\vert\enspace 5 \enspace\vert\enspace −5t 2 + 6,5t + 0,3)

Wenn gefragt ist, wo der Ball den Boden berührt, setzt du die z-Koordinate gleich null und löst die Gleichung nach t auf. Nur eine positive Zeit ist im Sachzusammenhang sinnvoll, weil der Ball ja nicht in die Vergangenheit fliegt. Und dieses t setzt du noch bei der x-Koordinate ein:

-5t²+6,5t+0,3 =0 \\\quad\\\implies t_1=1,34 \enspace\land\enspace t_2=-0,04\\\quad\\32-8\cdot1,34=21,28 \to P(21,28\vert5\vert0)

Diese Koordinaten gleichst du dann wie oben beschrieben mit den Eckpunkten der Fläche ab.

Wenn gefragt ist, ob der Ball in einer Fläche auf einer beliebigen Ebene auftrifft, setzt du P in diese Ebene ein, erhältst t und damit wieder die Koordinaten des Schnittpunktes.

In mehr als einer Klausuraufgabe war ein Schatten zu konstruieren. Auch wenn das nach Physik klingt und vielleicht irgendwie schwierig, ist es nur wieder das Schneiden von Geraden (Lichtstrahlen) mit Ebenen (Wände, Erdboden).

Wenn es um Sonnenlicht geht, ist der Richtungsvektor immer gegeben. Du nimmst einen Eckpunkt des beleuchteten Körpers für den Ortsvektor und fertig ist die Geradengleichung. Sobald dir klar ist, auf welche Ebene der Schatten fällt, kannst du den Schnittpunkt und damit einen Eckpunkt des Schattens berechnen.

Wenn es um eine Lampe (sogenannte „punktförmige Lichtquelle“) geht, sind ihre Koordinaten gegeben. Diesen Punkt nimmst du für den Ortsvektor. Aus dem Ort der Lampe und dem Eckpunkt des Körpers berechnest du den Richtungsvektor der Geraden. Schon hast du die Geradengleichung für deinen Lichtstrahl, den du dann mit der Wand schneiden kannst.

Wie immer: Mach dir am besten eine Skizze 😉

Du solltest auf dem Schirm haben, wie du Stunden, Minuten und Sekunden ineinander umrechnest. Vor allem, wenn es um Geschwindigkeiten geht.

Es könnte sein, dass sich aus einer Abbildung eine Strecke in Metern und eine Zeit in Sekunden ergibt, du aber die Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde angeben sollst.

1 km/h ≈ 0,278 m/s

1 m/s = 3,6 km/h

Grundsätzlich brauchst du dafür die Strecke, um die sich ein Körper bewegt hat, und die Zeit, die er dafür brauchte. Dann teilst du die Strecke durch die Zeit.

Wenn der Richtungsvektor die Geschwindigkeit repräsentiert, musst du seinen Betrag ermitteln.

Beispiel:

In der folgenden Geraden g haben die Koordinaten die Einheit Meter, der Parameter λ hat die Einheit Sekunde.

g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}\sqrt{2}\\3\\5\end{pmatrix}\\\quad\\\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}\sqrt{2}\\3\\5\end{pmatrix}\end{vmatrix}=\sqrt{2+9+25}=6

Die Geschwindigkeit ist in diesem Fall 6 m/s.

Oft fangen Matrizenaufgaben mit einem Übergangsdiagramm an. Zum Beispiel wechseln Wähler*innen von einer Partei zu einer anderen und zurück. Oder Insekten legen Eier, aus denen Larven werden und letztendlich wieder neue Insekten.

Du solltest in der Lage sein, die Zahlen an den Pfeilen in deinen eigenen Worten erläutern zu können. Beispielsweise so:

„Innerhalb eines Jahres wechseln 80% der Kundinnen der Marke A zur Marke B, während 35% der Kundinnen der Marke B zur Marke A übergehen.“

Es ist immer wieder die Aufgabe, nachzuvollziehen, wie aus einem solchen Übergangsdiagramm eine Übergangsmatrix entstanden ist und einzelne noch fehlende Elemente in der Matrix nachzutragen.

In ein paar Klausuren bestand eine Aufgabe darin, aus einem ausformulierten Text ein Übergangsdiagramm zu zeichnen.

Dieses Diagramm muss keinen Schönheitspreis gewinnen. Es reicht, wenn die Pfeile deutlich erkennbar in die richtige Richtung zeigen und die Zahlen korrekt angebracht sind.

Es ist für die spätere Rechnung zu empfehlen, Prozentzahlen gleich in Dezimalzahlen umzuwandeln. Also statt 85% schreibst du 0,85, statt 2% schreibst du 0,02. Dann brauchst du im Anschluss nur noch zu multiplizieren, statt dir einen Dreisatz zu überlegen.

Beispiel: 35% von 250 €

Als Dreisatz:

Als Multiplikation:

250 € · 0,35 = 87,50 €

Dir sollte geläufig sein, dass in einer Übergangsmatrix die Elemente angeben, wie viel % von einem Zustand in einen anderen wechseln.

Beispiel:

\enspace\quad von\quad\enspace A\quad\quad B\quad\quad C\\
nach \quad
\begin{matrix}A\\B\\C\end{matrix}\begin{pmatrix}0,25&0,1&0,4\\0,15&0,7&0,04\\0,6&0,2&0,56\end{pmatrix}

Im Sachzusammenhang wandern zum Beispiel 60 % der Kundinnen von A nach C, während 70% der Kundinnen von B ihrer Marke treu bleiben.

Bei Produktionsmatrizen ist die Richtung von -> nach umgekehrt:

\enspace\space nach\quad\enspace P_1\quad P_2\\
von \quad
\begin{matrix}R_1\\R_2\\R_3\end{matrix}\begin{pmatrix}2&1\\10&18\\0,5&4\end{pmatrix}

In diesem Beispiel werden für das Produkt P₁ 10 Einheiten des Rohstoffes R₂ gebraucht, während für das Produkt P₂ 4 Einheiten des Rohstoffes R₃ nötig sind.

In einem Fall sollte ein Vektor, der die Verteilung verschiedener Menschen auf drei Gruppen beschrieb, als Ortsvektor im dreidimensionalen Raum betrachtet und in ein Koordinatenzentrum eingezeichnet werden.

Wenn wir davon ausgehen, dass die Gesamtzahl dieser Menschen sich nicht ändert, ist damit die Länge des Vektorpfeiles begrenzt. In der Aufgabe sollte das entsprechend argumentiert werden. Es war die Frage, ob der zum Verteilungsvektor gehörende Punkt außerhalb eines gegebenen Quaders liegen könnte.

In Aufgaben zu Produktionsprozessen werden mehrere Matrizen angegeben: Von den Rohstoffen zu den Zwischenprodukten und von den Zwischenprodukten zu den Endprodukten. Manchmal ergeben sich zwischenzeitlich auch Matrizen von den Rohstoffen direkt zu Endprodukten. In manchen Fällen waren letztere von Anfang an gegeben.

Zur Beantwortung verschiedener Fragen ist es wichtig, dass du aufpasst und jeweils die richtige Matrix auswählst. Manchmal haben die Matrizen die gleichen Anzahlen an Zeilen und Spalten und sind daher nicht ganz so leicht zuzuordnen. Dann hilft ein Blick in das Diagramm und ein Vergleich der Zahlen „von -> nach“.

Ein Skalar ist eine Zahl ohne Richtung im Gegensatz zu einem Vektor.

Wird eine Matrix mit einem Skalar multipliziert, dann wird jedes Element der Matrix mit dem Skalar multipliziert.

In einer Matrixklausuraufgabe war der Betrag eines solchen Skalars gefragt. Im Prinzip musst du für die Antwort zwei Matrizen vergleichen und überlegen, um welchen Faktor sie sich unterscheiden.

Beispiel:

n\cdot\begin{pmatrix}4&2\\5&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12&6\\15&-3\end{pmatrix}\\\quad\\n\cdot4=12\\n\cdot2=6\\n\cdot5=15\\n\cdot(-1)=-3\\\quad\\\implies n=3

Die beiden Matrizen unterscheiden sich in allen Elementen um den Faktor 3. Das ist also der gesuchte Skalar.

Die Matrizenmultiplikation ist vom rein rechnerischen Verfahren her einfach, der wichtigste Punkt ist, dass du dich konzentrierst und darauf achtest, dass du immer eine Zeile mit einer Spalte verbindest.

Dieses Video von MathemaTrick zeigt dir das Verfahren in Aktion.

In Produktionsprozessen gibt es Matrizen von Rohstoffen zu Zwischenprodukten (RZ) und von den Zwischenprodukten zu den Endprodukten (ZE). Eine immer weder gefragte übergeordnete Übergangsmatrix drückt den Prozess von den Rohstoffen zu den Endprodukten aus (RE).

Wenn der Rohstoffvektor R heißt und der Produktvektor P, dann kannst du R so berechnen:

\overrightarrow{R}=RE\cdot\overrightarrow{P}

Wenn es noch einen Zwischenproduktvektor Z gibt, sind das die Zusammenhänge:

\overrightarrow{R}=RZ\cdot\overrightarrow{Z} \\\quad\\
\overrightarrow{Z}=ZE\cdot\overrightarrow{P}

Du erhältst RE durch Multiplikation:

RE = RZ · ZE

Es kommen in Aufgaben auch manchmal andere Bezeichnungen für diese drei Matrizen vor. Welche welche ist, ergibt sich aus dem Zusammenhang, oft sieht die Benennung aber so aus:

RZ -> A ZE -> B RE -> C

In Aufgaben mit Tier- oder Pflanzenpopulationen ist es möglich, zum Beispiel von einem Jahr zum nächsten zu rechnen. Hier sollst du regelmäßig Matrizen für größere Zeiträume angeben oder das Verfahren beschreiben, wie solche Matrizen berechnet werden können.

Du erhältst die Matrix für größere Zeiträume durch Potenzieren. Gilt die Matrix A zum Beispiel für ein Jahr und du sollst einen Term für eine Zehn-Jahres-Matrix B angeben, sieht die Antwort so aus:

B = A¹⁰

Es ist realistisch, dass du den Term so stehen lassen sollst, ohne ihn auszurechnen. Denn so eine lange Reihe von Multiplikationen hintereinander bringt nichts außer Zeitaufwand und ist ein schöner Anlass, sich zu verrechnen.

Ist eine Matrix C für einen Rhythmus von zum Beispiel nur zwei Jahren gesucht, wird nicht nur eine Beschreibung des Vorgehens erwartet. Denn hier ist der Rechenaufwand zumutbar. In diesem Fall berechnest du tatsächlich:

C = A · A

Es gab Aufgaben zu Produktionsabläufen, in denen eine Firma ein neues Endprodukt E4 einführte. Im Ergebnis wurde die Rohstoff-Endprodukt-Matrix um eine Spalte erweitert.

C=\begin{pmatrix}0,5&0,2&0\\0&0,56&0,96\\0,04&0,044&0,048\end{pmatrix}\\\quad\\C'=\begin{pmatrix}0,5&0,2&0&u\\0&0,56&0,96&v\\0,04&0,044&0,048&0,06\end{pmatrix}

Die Fragestellung lautete:

„Ermitteln Sie die Summe der Mengeneinheiten der Zwischenprodukte, die zur Herstellung einer Mengeneinheit von E4 erforderlich ist.“

An dieser Stelle begann der Lösungsweg damit, zunächst auf dem Arbeitsblatt die gegebenen Matrizen zu identifizieren, die den Übergang von den Rohprodukten zu den Zwischenprodukten und von den Zwischenprodukten zu den Endprodukten E1 bis E3 beschreiben:

A=\begin{pmatrix}0,5&0\\0&0,8\\0,04&0,04\end{pmatrix}\quad B=\begin{pmatrix}1&0,4&0\\0&0,7&1,2\end{pmatrix}

An der Herstellung der Zwischenprodukte ändert sich nichts, A kann also unverändert weiterverwendet werden.

B lässt sich um die unbekannten Mengen der Zwischenprodukte Z1 und Z1 erweitern, die für E1 gebraucht werden:

B'=\begin{pmatrix}1&0,4&0&x\\0&0,7&1,2&y\end{pmatrix}

Jetzt muss dir klar sein, dass C‘ = A · B‘ ist. Wenn du A mit B‘ multiplizierst und das Ergebnis mit C‘ vergleichst, siehst du, dass

0,04\cdot x+0,04\cdot y=0,06 \implies x+y=1,5

Die Summe aus x und y ist auch schon direkt die Antwort auf die Frage. Was hier zur Lösung der Aufgabe notwendig ist, ist ein Verständnis des Konzeptes hinter der Berechnung von Prozessen.

Solltet ihr also Matrizen behandelt haben, kann es also sein dass eine entsprechende Klausur verwendet wird und du nicht nur geübte Verfahren abarbeiten musst. Solltest du an einer Stelle im Text das Gefühl haben, dass dir Informationen fehlen, lies noch einmal den Anfang des Arbeitsblattes. Oft musst du Werte oder Formeln verwenden, die dort angegeben sind.

In anderen Aufgaben wurde von einem Monat zum nächsten ein Restaurant geschlossen. Die Personen in der Geschichte hatten daher keine Möglichkeit mehr, zu diesem Restaurant zu wechseln. Einen Monat lang galt deswegen eine andere Matrix:

N=\begin{pmatrix}0,9&0,34&0,4\\0,1&0,66&0,6\\0&0&0\end{pmatrix}

Die drei Zeilen und drei Spalten gelten jeweils für die drei Restaurants. Aus der dritten Zeile ist ablesbar, dass in diesem Monat niemand mehr nach R3 wechselt. Aus der dritten Spalte ist ablesbar, dass von R3 40% der Personen zu R1 wechseln und 60% zu R2.

Eine Frage lautete:

„Begründen Sie, dass aus der Verteilung im Monat nach der Schließung mithilfe des Modells nicht auf die Verteilung der Kunden unmittelbar vor der Schließung geschlossen werden kann.“

Wenn du N zum „Rückwärtsrechnen“ einsetzt, bekommst du ein Gleichungssystem ohne eindeutige Lösung. Für Fragen des Musters „Begründen Sie, dass nicht“ rate ich dazu, das Gegenteil der Behauptung anzunehmen, also hier dass es möglich ist, zurück zu rechnen. Auf dieser Basis machst du so lange weiter, bis du auf einen Widerspruch stößt. Dieser Widerspruch ist deine Begründung.

Generell wird immer wieder danach gefragt, welche Matrix sich von welcher herleiten lässt und welche nicht. Wenn zum Beispiel die Kund:innen eines Stromtarifs nochmal in zwei unterschiedliche Gruppen aufgeteilt werden, lassen sich die beiden neuen Anteile zum alten Wert zusammenaddieren.

10 % der Personen in Tarif A1, 15% in Tarif A2 -> 25% der Personen in der übergeordneten Kategorie A

30 % der Personen in Kategorie B -> Wie sich diese Personen in B1 und B2 aufteilen, ist nicht vorhersehbar.

Um eine Population im nächsten Zeitabschnitt (je nach Aufgabe Jahr, Monat oder Tag) zu berechnen, multiplizierst du die Übergangsmatrix mit dem aktuellen Populationsvektor.

Etwas komplizierter wird es, wenn du mehrere Zeitabschnitte in die Zukunft rechnen sollst.

In einer Aufgabe war eine Matrix gegeben für eine Wolfspopulation bezogen auf einen Ein-Jahresrhythmus. Betrachtet wurden weibliche Tiere im Alter von einem, zwei und mindestens drei Jahren. 72% der Tiere sollten in den ersten zwei Lebensjahren sterben, gefragt war nach dem Wert für x:

\begin{pmatrix}0&0&3\\x&0&10\\0&0,7&0,8\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&0&3\\x&0&10\\0&0,7&0,8\end{pmatrix}\\\quad\\=\begin{pmatrix}0&0,21&0,24\\0&0&3x\\0,7x&0,56&0,64\end{pmatrix}

Die übergeordnete Matrix im Zweijahresrhytmus enthält dem Term 0,7x an der Stelle, die angibt, welcher Anteil der einjährigen Tiere eines Jahrgangs nach zwei Jahren noch leben und dann in die Gruppe der mindestens drei Jahre alten Tiere übergehen. Wenn 72% von ihnen sterben, sind noch 28% übrig:

0,7 x = 0,28 -> x = 0,4

Im Sachzusammenhang bedeutet das, dass von den einjährigen Wölfinnen 40% das Alter von zwei Jahren erleben. In dieser Altersklasse ist, anders herum gesagt, die Sterblichkeit 60%.

Manchmal ist der aktuelle Populationsvektor nicht gegeben, aber eine bestimmte zukünftige Verteilung gefordert, zum Beispiel, dass drei beteiligte Gruppen gleich groß sind, also alle einen Anteil von 1/3 haben. Dann nimmst du einen aktuellen Vektor (x/y/z) an, multiplizierst die Matrix damit und setzt das Produkt dem geforderten Vektor gleich. Dieses Verfahren läuft rechnerisch genauso wie das Rechnen in die Vergangenheit, siehe nächster Punkt.

Um eine Population im vorherigen Zeitabschnitt (je nach Aufgabe Jahr, Monat oder Tag) zu berechnen, multiplizierst du die Übergangsmatrix mit einem unbekannten Populationsvektor (x/y/z) und setzt dieses Produkt dem aktuellen und bekannten Populationsvektor gleich:

Das kann folgendermaßen aussehen:

\begin{pmatrix}0&0&2,5\\0,5&0&0\\0&0,8&0,6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}100\\250\\80\end{pmatrix}

Durch Ausmultiplizieren erhältst du ein Gleichungssystem:

I \quad\quad\quad\enspace2,5\cdot z=100 \\ II\quad\quad\quad\enspace  0,5\cdot x=250\\III\quad 0,8\cdot y+0,6\cdot z=80

Als Lösung erhältst du x = 500, y = 70 und z = 40. Das sind die Bestandszahlen vom letzten Jahr, Monat oder Tag, je nach Aufgabe.

Die Variablen x, y, und z können natürlich je nach Geschichte anders heißen. Zum Beispiel e für Eier, l für Larven und s für Schmetterlinge.

Eine übliche Aufgabe fragt nach einer „stabilen Verteilung“ oder einer Population „die sich nicht mehr verändert“. Der dazu gehörende Vektor wird auch als Fixvektor bezeichnet, weil der Zustand der Population ab diesem Zeitpunkt fixiert ist.

Dafür multiplizierst du die Matrix mit einem unbekannten Vektor und setzt das Produkt dem unbekannten Vektor gleich. Mit anderen Worten suchst du also nach dem Vektor, der bei diesem Vorgehen selbst wieder herauskommt. Du kannst die Matrix beliebig oft wieder mit diesem Vektor multiplizieren, das Ergebnis ist immer wieder dasselbe.

Das könnte beispielsweise so aussehen:

\begin{pmatrix}0&0&2\\0,5&0&0\\0&0,8&0,2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}

Durch Ausmultiplizieren erhältst du ein Gleichungssystem:

I \quad\quad\quad\quad2\cdot z=x \\ II\quad\quad\quad\enspace  0,5\cdot x=y\\III\enspace 0,8\cdot y+0,2\cdot z=z

Dieses Gleichungssystem hat keine eindeutige Lösung, weil nach dem „Aufräumen“, also dem Verschieben aller Variablen auf die linke Seite, rechts vom Gleichheitszeichen in jeder Gleichung eine Null steht.

Um ein Ergebnis zu erhalten, musst du für eine der Variablen eine konkrete Zahl vorgeben (die in der Aufgabe genannt wird). Soll zum Beispiel x= 100 sein, ergibt sich der Vektor (100/50/50).

Alternativ sollst du davon ausgehen, dass alle Tiere/Pflanzen zusammengezählt 100% entsprechen, also x + y + z = 1 ergibt. Damit bekommst du im vorliegenden Fall einen eindeutigen Vektor von (0,5/0,25 /0,25). Eine unendliche Anzahl möglicher stabiler Verteilungen sind Vielfache dieses Vektors.

Sollte das Gleichungssystem tatsächlich keine Lösung haben, gibt es keinen Fixvektor.

In einer Klausur wurde das Wechselverhalten zwischen drei Stromtarifen betrachtet mit folgender Übergangsmatrix:

P=\begin{pmatrix}0,84&0,02&0,01\\0,14&0,71&0,13\\0,02&0,27&0,86\end{pmatrix}

Eine Frage lautete:

„Für den Anteil aller Kunden, die von einem Monat zum nächsten den Tarif wechseln, gibt es im Modell einen kleinsten und einen größten möglichen Wert. Geben Sie diese beiden Werte an und begründen Sie Ihre Angabe.“

Lies die Frage genau. Es geht darum, im welchen Fällen die meisten Menschen bei ihrem Tarif bleiben und in welchen die wenigsten. Dafür ist die Diagonale von links oben nach rechts unten zuständig: x · 0,84 + y · 0,71 + z · 0,86 ist der prozentuale Anteil der Personen, die nicht wechseln.

Die Extreme im Wechselverhalten ergeben sich als das Setzen von Nullen und Einsen im Verteilungsvektor. Wenn alle Personen im dritten Tarif sind, werden 86% dabei bleiben und 14% in die beiden anderen Tarife wechseln. Eine geringere Anzahl von Wechseln ist nicht erreichbar.

Wenn alle Personen im ersten Tarif sind, bleiben 84% dabei und 16% wechseln.

Wenn alle Personen im zweiten Tarif sind, bleiben nur 71% in ihrer Kategorie und 29% wechseln in die anderen Tarife.

Die Antwort lautet also: Der größte Wert ist 0,29, der kleinste ist 0,14.

Die Beurteilung eines Modells hat nur begrenzt mit Mathematik zu tun. Meist geht es darum, dass wir davon ausgehen können, dass die Umweltbedingungen einer Tierpopulation nicht unendlich lange exakt gleich bleiben. Deswegen beschreibt die Übergangsmatrix die Veränderungen nur für einen endlichen Zeitraum.

Bezogen auf Marktprozesse kann eine Übergangsmatrix nur eine begrenzte Zahl von Jahren sinnvoll angewendet werden, bevor ein neues Produkt oder sogar eine technologische Weiterentwicklung auf den Markt kommt, ein neues Restaurant eröffnet wird oder ein Wirtschaftssystem sich durch politische Vorgänge stark verändert.

In den Klausuren 2017 bis 2023 war keine Berechnung einer inversen Matrix gefordert.

Dieses Video von MathemaTrick beschreibt das grundsätzliche Verfahren, falls du es trotzdem zur Sicherheit noch einmal wiederholen willst.

Im Zusammenhang mit Austausch- oder Produktionsprozessen bedeutet die inverse Matrix den „Übergang in die Vergangenheit“ oder das Schließen von Rohstoffmengen auf die Mengen der Endprodukte.

Nur quadratische Matrizen können eine inverse Matrix haben. Nicht jede quadratische Matrix ist invertierbar.

Ist eine Matrix quadratisch, aber nicht nicht invertierbar, ist kein Rückschluss auf frühere Populationen möglich. Dieser Zusammenhang war unter anderem in Matrizenklausuren gefragt.

Eine Einheitsmatrix enthält nur Nullen und Einsen. Die Version mit drei Zeilen und drei Spalten sieht so aus:

\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

Einheitsmatrizen sind immer quadratisch und können unterschiedlich groß sein.

Sie kommen heraus, wenn du eine quadratische Matrix mit ihrer inversen Matrix multiplizierst. In einer der Klausuren zu Matrizen war genau dieser Zusammenhang gefragt. Es sollte also erkannt werden, dass

Beispiel: 3,467 · 10^-4

Die -4 gibt die Stelle hinter dem Komma an, an der die 3 stehen muss:

0, _ _ _ 3

Die Stellen links der 3 werden mit Nullen aufgefüllt. Die Stellen rechts davon mit der originalen Zahlenfolge „467“:

3,467 · 10^-4 = 0,0003467

Negative Exponenten sind relevant für Wahrscheinlichkeiten.

Beispiel 9,1058 · 10⁷

Die 7 gibt an, um wie viele Stellen das Komma nach rechts gerückt werden muss:

91058 _ _ _,

Eventuell entstehende leere Stellen werden mit Nullen gefüllt. Steht das Komma dann rechts am Ende, fällt es weg:

9,1058 · 10⁷ = 91058000

Positive Exponenten sind relevant in der Kombinatorik, weil dort regelmäßig sehr große Zahlen heraus kommen. Als Endergebnis kannst du die Taschenrecheranzeige in diesen Fällen abschreiben. Denke aber daran, die Zehnerpotenz mit anzugeben.

Dieser Punkt läuft erfahrungsgemäß intuitiv. Oft sollst du aus einer einleitenden Erklärung mit Hilfe einfacher Bruchrechnung Wahrscheinlichkeiten angeben. Dahinter mehr zu vermuten, nur weil dieser Prüfungsteil unter der Überschrift Stochastik läuft, stresst nur unnötig.

Beispiel: In einer Schulklasse sind 20 Kinder. 8 davon tragen eine Brille. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Kind eine Brille trägt?

8 : 20 =0,4 bzw. 40 %

Tief durchatmen, mehr steckt hinter dieser Frage nicht 🙂

Hier hilft dir der Dreisatz: 360° entsprechen 100 %. Ist dein Winkel gegeben, zum Beispiel φ = 72°, dann gehört zu diesem Feld auf dem Glücksrad die Wahrscheinlichkeit 72° : 360° · 100 % = 20 %

Es kommt vor, dass der Winkel zunächst nicht gegeben ist, dann lässt du die Wahrscheinlichkeit als p = φ : 360° stehen.

Manchmal wird der Winkel im Bogenmaß betrachtet, dann gilt: 2π entsprechen 100 %.

Hier ist logisches Denken gefragt. In den IQB-Klausuren habe ich keine klassische 3-mal-mindestens-Aufgabe gefunden. Trotzdem ist es sinnvoll, dir das Gegenteil von „mindestens einmal“ zu merken. Das ist nämlich „Null mal“ und kann Rechnungen drastisch vereinfachen oder mitunter überhaupt erst ermöglichen.

Das generelle Konzept der Gegenwahrscheinlichkeit tauchte mehrfach auf. Wenn ein Ereignis sehr kompliziert zu berechnen ist, lohnt es sich oft, das Gegenereignis zu formulieren. Dessen Wahrscheinlichkeit ziehst du dann von 1 ab.

Die Abiturklausur Stochastik ist vom Umfang her eher übersichtlich. Nutze deine Zeit, um Texte zweimal zu lesen und wichtiges farbig zu markieren.

Ereignisse können zum Beispiel mit „sowohl als auch“, „weder… noch…“ und „entweder… oder…“ formuliert werden. Eine Skizze hilft dir, daraus Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen.

Die folgenden Beschreibungen solltest du gut auseinanderhalten:

„mindestens“ -> ≥

„höchstens“ -> ≤

„weniger als“, „unter“ -> <

„mehr als“, „über“ -> >

Für Intervalle, zum Beispiel „mehr als 5 aber höchstens 8“, schreibst du P(5<X ≤8).

Meistens soll das Ereignis zu einem Term passen, der auf der Bernoulli-Formel oder einem Pfad innerhalb eines Baumdiagramms basiert.

Für deine Formulierung entnimmst du Satzbausteine aus der Grundgeschichte und passt n, p und k entsprechend dem gegebenen Term an. Bedenke, dass für k = 0 und k = 1 sich in der Bernoulli-Formel einiges vereinfacht. Ein Beispiel:

{20 \choose 0}\cdot 0,2^0\cdot 0,8^{20}=1\cdot 1\cdot 8^{20}=0,8^{20}\\\quad\\
{20 \choose 1}\cdot 0,2^1\cdot 0,8^{19}=20\cdot 0,2\cdot 8^{19}=4\cdot0,8^{19}

In diesem Fall könnte dir der Term 4 · 0,8¹⁹ + 0,8²⁰ präsentiert werden. Aus dem Sachzusammenhang sollte sich ergeben, dass

n = 20 und p =0,2

Der Term beschreibt P(X=0) und P(X=1). Am Ende lautet das Ereignis also zum Beispiel „Von 20 untersuchten Bildschirmen ist höchstens einer defekt.“

Tief durchatmen, es ist nicht so kompliziert, wie es scheinen mag. Und es lohnt sich, diesen Aufgabentyp zu üben

Beim Zeichnen schreibst du an den entsprechenden Zweig ein p und an den Zweig zum Gegenereignis (1-p). Wenn du die einzelnen Pfade durchmultipliziert und das Ergebnis mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit gleichgesetzt hast, löst du nach p auf.

Dies ist eine Stelle, an der (wie weiter oben angekündigt) eine quadratische Gleichung vorkommt 🙂

Die Aufgaben fragen nicht explizit nach bedingten Wahrscheinlichkeiten, sondern enthalten häufig Relativsätze oder Konditionalsätze:

• „…, dass ein Bildschirm, der defekt ist, im Test durchfällt“
• „…, dass ein Bildschirm im Test durchfällt, wenn er defekt ist.“

Eine ähnliche Logik enthalten Formulierungen der Art:

• „…, dass ein defekter Bildschirm durchfällt.

In allen Fällen wird bei zwei Eigenschaften nach dem Vorkommen der einen Eigenschaft in der Untergruppe gefragt, die auch die andere Eigenschaft trägt.

Im Baumdiagramm stehen die bedingten Wahrscheinlichkeiten an den unteren Zweigen, wie im folgenden Beispiel:

In der Vierfeldertafel kannst du die bedingten Wahrscheinlichkeiten nicht direkt ablesen, sondern musst sie berechnen:

P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}

Es wurde ausdrücklich der Begriff „abhängig“ beziehungsweise „unabhängig“ verwendet. Berechne die relevanten bedingten Wahrscheinlichkeiten und vergleiche, zum Beispiel:

P_A(B) = P(B)

Wenn diese Gleichung stimmt, sind die Eigenschaften A und B unabhängig.

Bei einem Ereignis der Sorte „Bei dreimaligem Würfeln kommt dreimal eine Sechs heraus“ hilft ein Baumdiagramm und das Befolgen der Pfadregeln.

Streng genommen ist eine Verteilung nicht binomial, wenn p nicht konstant bleibt, also zum Beispiel nicht zurückgelegt wird. Bei Umfragen werden Personen nicht zweimal befragt. Bei Qualitätstests werden geöffnete Produkte entsorgt und nicht in den Produktstrom zurück gelegt und dann eventuell ein weiteres Mal getestet.

In diesen Fällen kann eine Verteilung als näherungsweise binomialverteilt betrachtet werden, wenn die betrachtete Stichprobe klein ist bei einer großen Grundgesamtheit.

Trotzdem kann bei Sachzusammenhängen mit Menschen ein entscheidender Faktor sein, dass sie in Kleingruppen antreten. Wenn zum Beispiel die Mutter entscheidet, doch nicht in den Freizeitpark zu gehen, bleiben die Kinder auch zu Hause. Die Wahrscheinlichkeit für ihren Freizeitparkbesuch sinkt damit abhängig von der Mutter auf Null.

Für k wird gerne einer dieser Werte gewählt, weil sich dadurch einiges vereinfacht:

\footnotesize {P(k=1)={n \choose 1}\cdot p^1\cdot (1-p)^{(n-1)}=n\cdot p\cdot(1-p)^{(n-1)}}

Mit zum Beispiel n = 20 und p = 0,2 wird daraus 4 · 0,8¹⁹

\footnotesize {P(k=0)={n \choose 0}\cdot p^0\cdot (1-p)^{n)}=(1-p)^{n}}

Mit zum Beispiel n = 20 und p = 0,2 wird daraus 0,8²⁰

Wichtig ist, dass du aus dem Text den korrekten Term abliest. „Die Wahrscheinlichkeit für über 15 Treffer“ bedeutet zum Beispiel P(X>15)

Ich empfehle, vorher sicherzustellen, dass du zuverlässig weißt, wie du diese Wahrscheinlichkeiten mit dem Taschenrechner berechnest.

Es war häufig zu berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit etwas mindestens, höchstens oder zwischen zwei Werten eintrifft. Eine Angabe der Art „genau 20 mal“ kam allerdings auch immer wieder vor.

In diesem Fall berechnest du µ und gegebenenfalls σ:

\mu=n\cdot p \quad\quad\quad \sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}

Dann addierst du den geforderten Wert einmal zu µ dazu und ziehst ihn einmal ab. Damit hast du deine Werte für das linke und das rechte k und verfährst dann wie im Punkt „P für Ereignisse berechnen“.

Auch wenn es nicht explizit in der Aufgabe steht: Wenn zwei der drei Größen n, p und k gegeben sind und eine bestimmte Wahrscheinlichkeit P gefordert ist, bleibt dir nichts übrig, als im Taschenrechner eine der Größen so lange zu variieren, bis sich das gesuchte P ergibt.

Zur nachvollziehbaren Dokumentation schreibst du am besten eine Tabelle mit den verschiedenen Ergebnissen, die du auf dem Weg zur Lösung bekommen hast.

In den alten Stochastik-Klausuren aus Schleswig-Holstein kam dieser Aufgabentyp häufig vor. Zwischen 2017 und 2023 war in den IQB-Klausuren nur einmal nach einer Mindestzahl an Versuchen n gefragt. Weil die Trefferzahl mindestens 3 sein sollte, war der Lösungsweg das Ausprobieren.

Weil die klassische „Dreimal mindestens“-Aufgabe mit P(X≥1) so „elegant“ ist , gehe ich davon aus, dass sie in Zukunft auch in den länderübergreifenden Abiturklausuren eine Rolle spielen wird.

Bis ich selbst eine Erklärung geschrieben habe, verweise ich für den immer gleichen Lösungsweg auf dieses Video.

Zwei Bernoulliexperimente können ineinander verschachtelt sein. Ein Beispiel:

Eine Kiste mit 12 Saftflaschen wird akzeptiert, wenn mindestens 10 Flaschen das vorgegebene Volumen Saft enthalten. Die Firma befüllt erfahrungsgemäß 2 % der Flaschen nicht ordentlich. Ein Unternehmen kauft 100 Kisten.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 100 von 100 Kisten in Ordnung sind?

1. Zufallsgröße Y: Anzahl der ordentlich befüllten Flaschen in einer Kiste
   n_Y = 12 k_Y = 10
   p_Y = P(„Flasche ist ordentlich befüllt“)= 1 – 0,02 = 0,98
   
2. Zufallsgröße Z: Anzahl der akzeptierten Kisten
   n_Z = 100 k_z = 100
   p_z = P(„Kiste wird akzeptiert“)

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kiste akzeptiert wird (p_Z) ist P(Y≥10). Es muss also zunächst die eine Teilaufgabe erledigt und dann deren Ergebnis bei der zweiten Teilaufgabe eingesetzt werden.

Mit n_Y = 12 und p_Y = 0,98 ist P(Y≥10) ≈ 0,9985 = p_Z

Mit n_Z = 12 und p_Z = 0,9985 ist P(Z=100) ≈ 0,8606

Grundsätzlich brauchst du für diese Aufgabe keine unbekannte oder komplizierte Rechenmethode. Du musst nur logisch denkend vorgehen, deine Variablen sauber definieren und dann in Ruhe deine Rechenschritte abarbeiten.

Der Auftrag kann lauten „Begründen Sie, warum dieses Diagramm nicht die beschriebene Binomialverteilung darstellen kann“.

Für eine Antwort berechnest du µ, den Wert für P(X=µ) und siehst dir auch die Symmetrie des Balkendiagramms an. Bei einem p von 0,5 sind die Balken symmetrisch mit µ in der Mitte. Bei größeren Werten für p ist der Verlauf nach rechts „gekippt“, bei kleineren entsprechend nach links.

Für die Gleichung und das Diagramm sollten die Werte übereinstimmen, damit du sie einander zuordnen kannst.

Was außerdem manchmal abweicht, ist das n. Wenn zum Beispiel in der Binomialverteilung ein Wert von 20 vorgesehen ist, im Diagramm aber bei X = 25 noch ein positiver Balken erscheint, passt das nicht zusammen.

Dahinter steckt wirklich nicht mehr, als dass du diese Gleichung in einen Satz umschreibst. In diesem Fall also:

„Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 20mal getroffen wird, liegt bei 20 %“

\mu=n\cdot p \quad\quad\quad \sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}

Wenn σ größer als 3 ist, ist die Verwendung der Normalverteilung zulässig.

In manchen Aufgabe fällt der Begriff „Dichtefunktion“. Dies ist die Funktion, die einem Wert einer Zufallsgröße eine Wahrscheinlichkeit zuordnet. Im Zusammenhang mit der Normalverteilung kennst du sie als Glockenkurve.

Je nach Taschenrechner hast du unterschiedliche Eingabemethoden, um aus µ, σ und X die gesuchte Wahrscheinlichkeit P zu berechnen.

Es kommt auch vor, dass P vorgegeben ist. Dann sind von den anderen drei Größen auch jeweils zwei gegeben und du musst die letzte Größe im Taschenrechner so lange variieren, bis das gewünschte P herauskommt.

Die Funktion hat diese Form:

\Large{\Phi(x)=\frac{1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot ( \frac{x-\mu}{\sigma})^2}}

In einer gegebenen Funktion musst du nur die Zahlen identifizieren, die an den Positionen für σ und µ stehen. Die gute Nachricht ist: Du musst diese Formel nicht auswendig wissen, denn sie steht in der IQB-Formelsammlung.

Das µ gibt die x-Koordinate des Maximums an, oder mit anderen Worten den Erwartungswert. Die Standardabweichung σ ist ein Maß dafür, wie hoch und breit die Glockenkurve ist.

Wird µ größer, rückt die Kurve nach rechts.

Wird σ größer, wird die Kurve breiter und flacher.

Den Effekt kannst du auf dieser Geogebra-Unterseite mit Schieberegler zur Glockenkurve ausprobieren.

Die Fläche zwischen der Glockenkurve und der x-Achse entspricht der Wahrscheinlichkeit, die zu dem jeweiligen Intervall gehört.

Die komplette Fläche ist 1, was einer Wahrscheinlichkeit von 100% entspricht. Irgendetwas muss einfach passieren 🙂

In manchen Aufgaben ist ein Diagramm gegeben, in dem du die zu einer Geschichte passende Fläche einfärben und abschätzen sollst.

Bei Binomialverteilungen ist die Zufallsgröße meistrens etwas, was gezählt wird. Andererseits war in manchen Aufgaben zu einer Normalverteilung auf der x-Achse die Zeit eingetragen.

Mein Tipp: Lass dich davon nicht verunsichern. Du kannst trotzdem µ, σ und X normal verwenden. Dann ist einfach µ die Zeit, zu der am wahrscheinlichsten etwas passiert.

Aufgaben zu σ-Umgebungen waren in den betrachteten Klausuren nicht vertreten. Bis ich selbst eine Erklärung geschrieben habe, kannst du dich mit diesem Video vorbereiten.

Die Tabelle mit benötigten Faktoren für verschiedene Umgebungen steht in der IQB-Formelsammlung. Daher ist es nicht ausgeschlossen, dass eine Frage aus diesem Bereich in Zukunft drankommt.

In 50 % der Klausuren war ein Hypothesentest verlangt, die meisten darunter rechtsseitig, der Rest linksseitig. Die Nullhypothese H₀ war jeweils gegeben. Sollte sie einmal nicht gegeben sein, ist meistens dein Standpunkt (beziehungsweise der Standpunkt der Person, die den Test durchführt) die H₁.

An der H₁ liest du ab, auf welcher Seite du testest.

H_1: p<0,5

H_1: p\neq 0,5

H_1: p>0,5

H_1: p=0,4\\ H_2: p=0,6

In mehreren Fällen sollte erläutert werden, aus welcher Motivation heraus die Nullhypothese gewählt wurde. Die Antwort ergibt sich daraus, dass ein Betrieb verschiedene Risiken hat, je nachdem welche Hypothese verworfen wird.

Zum Beispiel führen Lieferungen mit zu vielen fehlerhaften Teilen zu verärgerten Kund*innen und Reklamationskosten. Auf der anderen Seite führen übermäßig gründliche Qualitätstests zu höheren Betriebskosten. Hier muss die Firma eine Priorität festlegen, an welche Stelle sie sparen will, beziehungsweise welchen Schaden sie vermeiden will.

Mit deinem Taschenrechner erzeugst du eine Tabelle, aus der sich das letzte k ergibt, das noch im Ablehnungsbereich der H₀ ist. Je nachdem, ob du links oder rechts testest, ist das das kleinste oder das größte k.

Auf dieser Basis formulierst du deine Entscheidungsregel:

„Die Nullhypothese wird verworfen, wenn unter [n] [was auch immer gezählt wird] höchstens/mindestens [k] [Beschreibung des jeweiligen Treffers] sind“.

Für einen beidseitigen Test musst du den rechten und den linken Ablehnungsbereich beschreiben.

Ein Fehler zweiter Art (auch als β-Fehler bezeichnet) bedeutet, dass wir H₀ nicht verwerfen, obwohl H₁ gilt. Diesen Fehler kannst du nur berechnen, wenn eine alternative Wahrscheinlichkeit p₁ gegeben ist.

Zur Veranschaulichung empfehle ich diese Geogebra-Unterseite. Die Definition des Fehlers zweiter Art steht außerdem auch in der Formelsammlung.

Mit Hilfe des Erwartungswertes kann für einen Betrieb berechnet werden, von welchen Kosten bei einer vorgegebenen Entscheidung ausgegangen werden muss. Auf dieser Basis sollst du dann erläutern, welche Entscheidung du an Stelle der Verantwortlichen in einer vorgegebenen Frage treffen würdest.

Ist der Fehler zweiter Art bekannt, kann durch Ausprobieren mit dem Taschenrechner die alternative Trefferwahrscheinlichkeit ermittelt werden. Dabei wird die Anzahl von Nachkommastellen vorgegeben.

Häufig stehen die relevanten Formeln im Aufgabentext und du musst nur noch p und n einsetzen. Das ist eine Gelegenheit, bei der es sich auszahlt, Ruhe zu bewahren und für ein einfaches Eintippen in den Taschenrechner eventuell entscheidende Klausurpunkte mitzunehmen.

Bei anderen Aufgabenstellungen mussten die Werte für die relative Häufigkeit h_min und h_max, beziehungsweise für p_min und p_max aus einem Diagramm abgelesen werden.

Bei dieser Art Aufgabe wird im Allgemeinen danach gefragt, ob ein Testergebnis mit einem Konfidenzintervall „verträglich“ ist oder „damit im Einklang“ steht.

Mit den bekannten Werten berechnest du das Konfidenz- beziehungsweise Prognoseintervall und überprüfst, ob das Testergebnis darin liegt.

Je größer die Stichprobe, umso schmaler werden Konfidenz- und Prognoseintervall. In einer Klausur war die Frage, warum das so ist, und in welchem Umfang.

Die Antwort liegt in der Formel. Die Wurzel aus der Stichprobengröße steht im Nenner, deswegen bewirkt ein vervierfachtes n eine Halbierung der Intervallbreite.

Wenn h und p gegeben sind, findest du mit Hilfe der Formeln durch Ausprobieren das dazu passende n heraus.

E(X) ergibt sich, wenn du alle Werte, die die Zufallsgröße X annehmen kann mit der jeweils dazu gehörenden Wahrscheinlichkeit multiplizierst und dann alle Ergebnisse zusammen addierst.

Ich empfehle, falls nicht schon gegeben, eine Tabelle aufzustellen und die einzelnen Summanden dann unter die jeweiligen Spalten zu schreiben:

Wäre dies ein Spiel, wäre der Erwartungswert für den Gewinn

E(X) = 1 € + 1 € – 6,80 € = – 4,80 €

Du kannst also davon ausgehen, bei jedem Spiel durchschnittlich 4,80 € zu verlieren.

Bei einem fairen Spiel ist der Erwartungswert für die Auszahlung gleich dem Wetteinsatz. Der durchschnittliche Gewinn ist also Null.

Wenn der Erwartungswert gegeben und in der Tabelle für ein Spiel ein Gewinnbetrag gesucht ist, schreibst du in der jeweiligen Zelle anstelle einer Zahl die Variable x.

Beispiel: Bei diesem Spiel ist der Erwartungswert gegeben mit:

E(X) =1,50 €

E(X) = 2,50 € + 0,85 · x = 1,50 €

Diese Gleichung löst du dann nach x auf: x = – 1,25 €

Frage dich, ob bei dem Zählverfahren zurückgelegt wird oder nicht, ob die Reihenfolge wichtig ist oder nicht, und eventuell ob alles verteilt wird oder nicht.

n: Aus wie vielen Optionen kann ich für jede Ziehung wählen?

k: Wie oft ziehe ich?

Der größte Teil der Geschichten lässt sich auf folgende Grundmuster zurückführen:

\footnotesize n^k

\footnotesize n!

\footnotesize\frac{n!}{(n-k)!}

\footnotesize{{n+k-1} \choose {k-1}}

\footnotesize {n \choose k}

Stelle sicher, dass du weißt, wie du die Zahlen für das Weihnachtsmannprinzip (offiziell: den Binomialkoeffizienten) in deinen Taschenrechner eingibst.

Wenn du schon eine Anzahl von Möglichkeiten berechnen sollst, schließt sich oft die Frage nach einer Wahrscheinlichkeit an. Dafür gilt:

P=\frac {\text {Anzahl der günstigen Möglichkeiten}}{\text{Anzahl aller Möglichkeiten}}

Beide Anzahlen berechnest du mit einem Ansatz aus der Kombinatorik. Oft helfen Skizzen erheblich weiter.

Für die beiden Steigungen m₁ und m₂ gilt Folgendes:

m_1=-\frac{1}{m_2}

Manchmal geht es nicht um lineare Funktionen, dann musst du den jeweiligen Wert für x in die ersten Ableitungen einsetzen. Das ergibt dann m₁ und m₂ für die obige Formel.

Dafür musst du die Schnittpunkte ermitteln und diese dann als Grenzen für das Integral über die Differenz zwischen den beiden Funktionen verwenden.

Die Basis sind besondere Punkte, die du entweder mit den Angaben im Text selbst ausrechnen oder direkt dem Text entnehmen musst. Das Ziel ist nicht eine besonders schöne Zeichnung, sondern ein Beleg dafür, dass du das Konzept hinter Funktionsverläufen verstanden hast.

Ob eine Funktion symmetrisch ist, hat Einfluss auf den Arbeitsaufwand von Aufgaben und manchmal auf die Menge an Informationen, die du aus Texten oder Zeichnungen entnehmen musst.

Für die Achsensymmetrie setzt du -x statt x in eine Funktion ein und vereinfachst den Funktionsterm. Am Ende musst du folgendes herausbekommen: f(-x) = f(x)

Wenn stattdessen f(-x) = – f(x) herauskommt, ist die Funktion punktsymmetrisch.

Die Formel dazu findet sich in der IQB-Formelsammlung. Die Funktion wird um die x-Achse herum rotiert. Sollte die y-Achse die Rotationsachse sein, ist das Verfahren etwas komplizierter, kam aber in den bisherigen Klausuren nicht vor.

Es sollten zwei Punkte gegeben sein, zwischen denen du ein Steigungsdreieck einzeichnest und mit dessen Hilfe die durchschnittliche Steigung zwischen den Punkten berechnest.

Die mittlere Änderungsrate ist die durchschnittliche Steigung, es sei denn, auf der y-Achse ist die Änderungsrate (zum Beispiel eine Geschwindigkeit) aufgetragen. In dem Fall musst du den mittleren Funktionswert berechnen. Dazu berechnest du das Integral in den gegebenen Grenzen und teilst durch den Abstand zwischen den beiden Grenzen.

Wenn du die nötige x-Koordinate hast, kannst du sie in

tan^{-1}(f'(x))=\alpha

einsetzen. Manchmal ist x die Nullstelle einer Funktion, manchmal der Schnittpunkt mit einer waagerechten Geraden. Diese musst du in dem Fall oft erst noch berechnen. Eine Skizze hilft hier oft 🙂

Diese Aufgabe basiert auf einer linearen Funktion der Form

y = m·x +n

Die Werte für y und x sind im Allgemeinen gegeben, m kannst du dir als f'(x) ausrechnen. Dann muss du nur noch diese drei Werte in die Geradengleichung einsetzen und nach n umstellen.

Für eine Wendetangente brauchst du zunächst den Wendepunkt und nimmst dessen x/y-Koordinaten. Das restliche Vorgehen ist gleich.

Am Ende schreibst du die Geradengleichung noch einmal mit x und y als Variablen und den beiden berechneten Werten für m und n.

Diese kommen meiner Erfahrung nach im normalen Unterricht eher selten ausdrücklich vor. Es hilft sehr, die Verläufe der Graphen der gängigen Funktionstypen im Hinterkopf zu haben. Dann kannst du schon einmal grob vermuten, wie die gefragte Funktion ungefähr aussieht.

Bei Grenzwerten gegen ∞ kannst du große Zahlen in deinen Taschenrechner einsetzen und das Ergebnis als Näherung nehmen.

Aufgepasst: Beim wissenschaftlichen Format bedeutet zum Beispiel 1,42 · 10^-20 eine sehr kleine Zahl, also ist der Grenzwert Null. 1,42 · 10⁺²⁰ ist eine sehr große Zahl, der Grenzwert ist dann ∞.

Wenn eine Funktion gegen einen konstanten Wert geht, kann eine Asymptote gefragt sein, die du als horizontale Gerade in das Koordinatensystem einzeichnen kannst.

Der Grad einer rationalen Funktion gibt die maximal mögliche Anzahl ihrer Nullstellen an. Die Anzahl der maximal möglichen Extrempunkte ist um 1 geringer als der Grad.

Zum Beispiel kann also eine x⁴-Funktion vier Nullstellen und drei Extrempunkte haben.

Wenn du herausfinden sollst, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt, setzt du die entsprechende x-Koordinate in f(x) ein. Kommt dabei die y-Koordinate heraus, liegt der Punkt auf der Kurve.

Hier ist der Satz vom Nullprodukt wichtig. Wenn zwei Faktoren miteinander multipliziert Null ergeben, muss einer von beiden auch Null sein. Allerdings kann e^x nicht Null werden. Daher kannst du immer argumentieren, dass der e-Funktions ≠ 0 ist und damit der andere Teil des Produktes Null sein muss.

Meistens geht es um das Volumen einer Halle, eines Werkstücks oder eines Kanals. Die Querschnittsfläche ermittelst du mit einem Integral und multiplizierst sie dann mit der Länge, die senkrecht zur Papierebene des xy-Koordinatensystems liegt. Die Masse rechnest du dann per Dreisatz aus.

Unter anderem könnte nach dem ursprünglichen Füllstand eines Wasserbeckens gefragt sein. Als Grundlage ist dann die Zuflussgeschwindigkeit im Zusammenhang mit der Zeit gegeben und ein bekanntes Volumen V zu einem gegebenen Zeitpunkt t.

Du stellst die Stammfunktion mit dem unbekannten Summanden C auf. Wenn du dort die gegebene Zeit t einsetzt und dem Term mit dem gegebenen Volumen gleichsetzt, kannst du das C berechnen und damit die Bestandsfunktion. Dort musst du dann nur noch für die Zeit t eine Null einsetzen. Oder eine andere Zeit, nach der in der Aufgabe gefragt wurde.

Hier berechnest du das Integral von der linken Grenze a bis zur rechten Grenze b, und teilst das Ergebnis durch (b-a).

\frac{1}{b-a}\cdot\int \limits_{a}^{b}f(x)dx

Diese häufig auftretende Aufgabe ist nicht schwierig, wenn dir klar ist, dass du nicht eine Stammfunktion zu f herleiten, sondern F ableiten und mit f vergleichen sollst.

Der Ablauf des Verfahrens ist reine Anwendung von Ableitungsregeln, die einzige Schwierigkeit ist Formulierung der Aufgabe.

In der Analysis findest du Schnittpunkte immer, indem du die beiden Funktionen gleichsetzt und dann nach x auflöst.